Вероятность разрушения и запасы прочности

Оценка прочностной надежности проводится с помощью допускаемых напряжений, запасов прочности и вероятности разрушения. При использовании допускаемых напряжений условие прочности

где σmax — наибольшее напряжение в элементе, [σ] - допускаемое напряжение.

Такая оценка весьма удобна, если на практике для однотипных конструктивных элементов, стабильных условий нагружения, устоявшейся технологии, производства разработана система допускаемых напряжений.

Однако оценке прочностной надежности с помощью допускаемых напряжений присущи и существенные недостатки. Величина  [σ] не дает в явном виде представления о степени надежности, так как в формуле не показано соотношение действующих и предельных напряжений. Величина допускаемого напряжения носит условный характер, так как не отражает характера предполагаемого разрушения (статического, усталостного и т. п.), режима нагружения и других факторов, влияющих на надежность. Допускаемое напряжение, особенно при действии переменных нагрузок, в значительной степени зависит от геометрии детали (концентрации напряжений материала и технологии изготовления, что затрудняет ее применение в качестве нормативной характеристики.

В современных инженерных расчетах допускаемые напряжения используют главным образом для приближенных, предварительных расчетов. Наибольшее распространение получил расчет по запасам прочности.

Условие прочностной надежности в простых случаях записывают в виде

где n запас прочности; σразр — разрушающее напряжение; [n] - допустимый запас прочности.

Под  σразр при действии переменных напряжений понимают предел выносливости, при действии постоянных напряжений — предел прочности или предел длительной прочности.

В более сложных случаях (нестационарные режимы нагружения) при определении запасов прочности используют условия суммирования повреждений.

Условия прочности по допускаемым напряжениям и запасам прочности связаны соотношением

Величина необходимого запаса прочности имеет довольно стабильное значение, тогда как  σразр отражает условия нагружения, геометрию и технологию детали.

При действии статических нагрузок используют также запас по несущей способности

где Рразр  и Р— значения силового фактора (нагрузки) в момент разрушения и в рабочих условиях

Запас по несущей способности отражает перераспределение напряжений, возникающее в пластических материалах при нагрузках, близких к разрушающим.

Недостатком системы допускаемых напряжений и запасов прочности является детерминированный характер условий прочности. Они не учитывают должным образом неизбежное рассеяние разрушающих и максимальных напряжений. Этот недостаток частично устраняется статистическими запасами прочности, которые рассмотрены в дальнейшем.

Другой путь построения статистических моделей надежности — определение вероятности разрушения.

Вероятность разрушения

Рассмотрим оценку вероятности разрушения на примере .

Переменные напряжения в элементе конструкции, возникающие при резонансных колебаниях, обозначим  σa.  Их определяют с помощью тензометрирования в рабочих условиях в местах наибольших напряжений. Величинам  σa свойственно значительное рассеяние, связанное с неравномерностью нагрузок, условиями демпфирования и т. п. Величину  σa сопоставляют с пределом выносливости элемента  σ-1л который также имеет  разброс вследствие отклонений в технологии изготовления и рассеяния механических свойств материала. Предел выносливости соответствует определенному числу нагружений (обычно 1е7 циклов). Если в данном элементе переменное напряжение больше предела выносливости

то наступает разрушение.

Рассматриваем  σa и  σ-1л  как случайные величины.  На рис. 4.1 показаны кривые  плотности распределения  переменных напряжений и пределов выносливости. Их строят на основании экспериментальных данных по гистограмме распределения.

Допустим, что величины  σa и  σ-1л, , которые для краткости обозначим соответственно η и ξ  имеют нормальное

Рис. 4.1. Кривые плотности распределения переменных напряжений  σa  и пределов выносливости   σ-1л

распределение. Тогда и разность этих величин (функция неразрушения)

распределена нормально, причем параметры распределения М.О. — среднее значение и среднее квадратическое отклонение (стандарт) соответственно: 

Вероятность разрушения равна вероятности условия  ζ<0  (рис. 4.2).

Входящий в последнее равенство  корреляционный момент  Kξη для  независимых случайных величин обращается в нуль. Так как предел выносливости и действующее в элементе переменное напряжение практически независимы, то

*

где  F(ζ) — функция распределения случайной величины  ζ

где  Ф(х) - функция Лапласа.

Рис. 4.2. Распределение функции неразрушения

Из равенства (*) вытекает формула для вероятности разрушения

(*)

или

где υζ — коэффициент вариации функции неразрушения,

Если воспользоваться приближенным представлением функции Лапласа 

, (*+)

то погрешность оказывается не выше последнего использованного при вычислениях члена ряда.