Нормальное распределение времени безотказной работы
Нормальное распределение применяют в теории надежности для описания отказов, вызванных изнашиванием детали.
Рис. 3.3. Нормальное распределение времени безотказной работы
Плотность распределения времени безотказной работы при нормальном законе распределения (рис. 3)
где параметры распределения t и ϭt — среднее значение времени и среднее квадратическое отклонение.
При нормальном распределении время t может быть отрицательным, что противоречит физическому смыслу. Однако, если среднее время t значительно превышает ϭt (t > 3ϭt ), отрицательная часть распределения не имеет практического значения.
Функция распределения
где Ф — функция Лапласа.
Вероятность безотказной работы при нормальном законе распределения
Приведем еще значение интенсивности отказов
При больших t(t> среднего + 2 ϭt) величина
При t → ∞
Распределение вейбулла для времени безотказной работы
Это распределение используют для статистических моделей надежности в первый период эксплуатации («приработочные» отказы). Функцию распределения принимают в виде (t > 0)
Закон Вейбулла имеет два положительных параметра: λ и m. Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при m = 1.
Особенно просто по закону Вейбулла выражается вероятность безотказной работы (рис. 3. 4):
Плотность распределения
Интенсивность распределения
Если 0 < m< 1, то интенсивность отказов со временем убывает.
Рис. 3.4. Распределение Вейбулла времени безотказной работы (m< 1)
Лекции16,17 Надежность последовательного, параллельного и смешанного соединения элементов. Другие задачи теории надежности в приложении ее к вопросам прочности сооружений как системы связанных элементов.
Надежность системы последовательных элементов
Если система включает несколько элементов, причем отказ одного из них приводит к отказу всей системы в целом, то такое соединение элементов называют последовательным (рис. 3. 5).
Например, узлы двигателя — компрессор и турбину — можно считать соединенными последовательно, так как отказ одного из этих узлов приводит К отказу всего двигателя.
Рис. 3.5. Система с последовательными элементами
Предполагая отказы отдельных элементов независимыми, получим вероятность безотказной работы системы из последовательных элементов
При последовательном включении элементов вероятность безотказной работы уменьшается. Например, если для одного элемента P1 = 0,99, то для 10 последовательно соединенных подобных элементов
Важное свойство системы с последовательными элементами состоит в следующем, Если λi(t) — интенсивность отказов i-го элемента, то для всей системы
где
При последовательном соединении элементов интенсивности отказов суммируются.
Надежность системы параллельных элементов
В этом случае (рис. 3.6) отказ системы наступает только тогда, когда отказали все без исключения элементы.
Рис. 3.6. Система с параллельными элементами
Вероятность отказа
Если Fi(t) — вероятность отказа i - го элемента, то
Вероятность безотказной работы системы
Если вероятность безотказной работы элементов одинакова и равна P1(t), то
Из этого равенства можно получить P1(t), если задано P(t):
(43)
Пример. Определить необходимую вероятность безотказной работы элемента, если система из трех параллельных элементов должна иметь вероятность безотказной работы (за время t)
Решение. Из уравнения (43) находим
Из равенства (42) и (43) можно сделать вывод, что надежность системы с параллельными элементами значительно выше надежности отдельного элемента.
Параллельное соединение — метод создания надежной системы из «ненадежных» элементов.
Систему, содержащую параллельно работающие элементы, называют системой с резервированием.
Применяют три метода резервирования:
1) система с нагруженным («горячим») резервом;
2) система с облегченным резервом;
3) система с ненагруженным («холодным») резервом.
В первом случае резервный элемент работает в одинаковых условиях с основным (например, многодвигательный самолет).
Во втором случае резервный элемент работает в облегченных условиях, в третьем случае он включается в работу только после отказа основного элемента.
Целесообразность применения различных схем резервирования зависит от особенностей системы, назначения элементов и других факторов. Например, если для включения элемента на заданную мощность требуется значительное время, то возможности использования «холодного» резерва становятся ограниченными.