5 Пример выполнения задания

Груз D массой m = 2 кг движется в вертикальной плоскости в изогнутой трубе АВС, получив в точке А скорость (рис. 31). На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действует сила (её направление показано на рисунке), причём Q = 2 Н, сила сопротивления среды , коэффициент трения груза о трубу f₁ = 0,1, AB = l = 2,5 м.

Не изменяя величины скорости движения, в точке В груз переходит на участок ВС трубы, где на него действует кроме силы тяжести и силы трения (коэффициент трения f₂ = 0,2) переменная сила , проекция которой на ось x F_x = –2sin (4t) и сила Р = 4t. Найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x = f(t), где x = BD.

Решение:

1 . Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. Изображаем груз и действующие на него силы . Проводим оси Ax₁y₁ и составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси:

Рисунок 31. Расчетная схема

Далее находим:

= G cos 45°, = 0, = –R = –2 ², = –Q = –2, = – ,

= -G sin 45°, = N₁, = 0, = 0, = 0.

Кроме того, известно, что = f₁N₁, а = 0 (y₁ не изменяется). Из второго уравнения 0 = –G sin 45° +N₁ находим N₁ = G sin 45°, а значит = f₁N₁ = f₁G sin 45°, поэтому первое уравнение запишется:

(8)

Учтя, что

,

разделив обе части (8) на m, имеем

Подставляя числовые значения m = 2, g = 10, f = 0,1, получим:

, где k = 5,37 м/с²_.

Разделяя переменные, запишем

. (9)

Интегрируя обе части уравнения (9) имеем:

. (10)

По начальным условиям при x₁ = 0 ₁ =  ₀, что даёт , и из (10) находим

Отсюда

В результате находим

. (11)

Полагая в (11) x₁ = l = 2,5 и, заменяя k и ₀ их значениями, определим скорость в точке В:

_B = 5,37+(25–5,37)(2,7) ^–5 = 5,5 (м/с).

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. Проведём из точки В оси Вx и Вy и покажем действующие на него силы . Составим уравнения движения груза в проекциях на оси x и y:

(12)

В уравнениях (12) = f₂N₂. Так как = 0, то из второго уравнения (12) имеем 0 = N₂ – mg cos 30°, откуда N₂ = mg cos 30°. Следовательно, = f₂mg cos 30°. Кроме того, G_x = G sin 30°= mg sin 30°, F_x = –2 sin (4t), P_x = 4t и первое уравнение (12) примет вид:

. (13)

Разделив обе части равенства на m и подставляя в (13) g = 10, f₂ = 0,2, получим:

. (14)

Умножая обе части (14) на dt и интегрируя, находим

. (15)

Будем отсчитывать время от момента, когда груз находился в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0  =  ₀ =  _В = 5,5 м/с. Подставляя эти величины в (15), получим:

;

Поэтому . (16)

Но , подставляя в (16), разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

. (17)

Так как при t = 0 x = 0, то С₃ = 0, а поэтому закон движения груза будет

где x – в метрах, t – в секундах.

Ответ: