4.3 Полуобратный метод Сен-Венана
Основная задача теории упругости – определение напряженно-деформированного состояния конструкции, возникшего вследствие определенного внешнего воздействия при известных условиях закрепления.
При этом решение задачи можно вести в напряжениях или в перемещениях. В первом случае основными неизвестными выступают перемещения, во втором – напряжения.
Рассмотрим суть полуобратного метода Сен-Венана при решении задач теории упругости. Из соображений физического характера либо задаются некоторыми компонентами неизвестных величии (например, при решении задачи в напряжениях, компонентами тензора напряжений), либо делают предположения о всех неизвестных величинах (но эти предположения требуют доопределения). Затем из уравнений, образующих математическую постановку задачи теории упругости, полностью определяют поле напряжений (при решении задачи в напряжениях) или поле перемещений (при решении задачи в перемещениях), и по основным уравнениям теории упругости определяют все остальные составляющие напряженно-деформированного состояния.
4.4 Решение прямой задачи теории упругости в напряжениях для изотропного материала. Условия совместности в напряжениях для изотропного материала (зависимости Бельтрами-Мичелла).
Прямая задача теории упругости.
Прямой задачей теории упругости называется задача, в которой требуется определить напряженно-деформированное состояние тела, находящегося под действием известных внешних нагрузок при заданных условиях закрепления. Прямую задачу теории упругости можно решать как в перемещениях (в этом случае за основные неизвестные принимаются перемещения), так и в напряжениях (основными неизвестными принимаются напряжения).
При решении задачи в напряжениях сначала определяют напряженное состояние тела, а затем, используя физические и геометрические соотношения, определяют деформации и перемещения. В общем случае при решении краевой задачи механики напряженное состояние определяется шестью различными компонентами тензора напряжений. Для их определения необходимо шесть уравнений, включающих искомые неизвестные. Три уравнения относительно компонент тензора напряжений – это уравнения равновесия в напряжениях:
,
(6)
которые
должны выполняться в каждой точке тела,
- компоненты тензора напряжений
- компоненты массовых внешних сил.
Напряжения, являясь функциями координат, будут статически возможными, если, как и компоненты тензора деформаций, будут удовлетворять уравнениям совместности. Эти уравнения могут быть получены из соотношений совместности в форме Сен-Венана, с использованием физических соотношений. Недостающие уравнения для определения напряжений – это и есть уравнения совместности в напряжениях. Так как при их получении используются физические соотношения, то вид этих уравнений всегда зависит от механических свойств материала, и будет различным для изотропного, ортотропного и анизотропного тел. Тогда как вид уравнений совместности в напряжениях одинаков для всех упругих материалов, работающих в рамках линейной упругости.
Таким образом математическая постановка статической задачи теории упругости в напряжениях включает:
уравнения равновесия (6);
уравнения совместности в напряжениях;
граничные условия.
Если граничные условия задачи частично или полностью кинематические, то необходимо выразить их через напряжения (постановка задачи в напряжениях должна включать в себя в качестве неизвестных только компоненты тензора напряжений). Так как сделать это достаточно проблематично, а зачастую – невозможно, решение прямой задачи в напряжениях имеет смысл вести в случае, когда граничные условия задачи полностью статические.
Уравнения совместности в напряжениях для изотропного материала.
Получим уравнения совместности в напряжениях для изотропного материала в декартовой системе координат. Уравнения совместности в деформациях для материала с любыми механическими свойствами имеют вид:
,
(7)
где
- компоненты тензора деформаций.
Физические соотношения для изотропного материала записываются следующим образом:
,
(8)
где
- упругие постоянные материала,
.
Подставляя (8) в (7), получим:
.
(9)
Уравнения равновесия (6) позволяют выразить производные по координатам от компонент тензора деформаций:
.
Учитывая также суммирование по повторяющемуся индексу и проводя следующие преобразования
,
,
,
,
из соотношения (9) получаем:
.
(10)
Соотношение (10) может быть преобразовано к виду:
.
(11)
Осуществляя свертку
в (11) по индексам
и
,
приводя подобные слагаемые, получаем:
или
.
(12)
Подставляя (12) в (11), окончательно получаем уравнения совместности в напряжениях для изотропного материала в виде:
.
(13)
Соотношения (9) также носят название уравнений совместности в форме Бельтрами-Мичелла.
Расписывая данные соотношения в развернутом виде, получим шесть различных соотношений:
Рекомендуемая литература:
Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: учебник для вузов / А. Г. Горшков, Л. Н. Рабинский, Д. В. Тарлаковский; Российская академия наук; Институт проблем механики; Под ред. Д. М. Климова.— Москва: Наука, 2000.— 214 с.
Кожаринова Л.В. Основы теории упругости и пластичности: учебное пособие для вузов / Л. В. Кожаринова.— Москва: Изд-во АСВ, 2010.— 136 с.
Теория упругости неоднородных тел: учебное пособие / В. А. Ломакин .— 2-е изд.— Москва: Ленанд: УРСС, 2014.— 367 с.
Механика сплошных сред: учебник для вузов / А. Н. Папуша.— Москва; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2011.— 686 с.
Прикладная механика: учебник для бакалавров / В.В. Джамай [и др.]; Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет); Под ред. В.В. Джамая .— 2-е изд., испр. и доп .— Москва: Юрайт, 2013.— 360 с.