2.3.2. Зразок виконання задачі 2
Для послідовного розташування ділянок вала (прямокутна, трубчаста, кругла) розкрити статичну невизначуваність, з умов міцності та жорсткості визначити розміри поперечного перерізу.
Дано:
М1 =300 H м; |
М2 = 400 H м; |
М3 =500 H м; |
|
||
a =1,5 м; b =1,0 м; с = 0,2 м; |
k =1,3; k |
2 |
=1,6; G = 0,8 105 |
МПа; |
|
|
|
1 |
|
|
|
[τ]= 40 МПа; |
[Θ]= 2 град. |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
Рисунок 21
1.Визначимо геометричні характеристики поперечних перерізів ділянок вала:
60
– трубчаста частина:
d0 – внутрішній діаметр; D – зовнішній діаметр;
с = d0 |
D |
= k1 |
=1,3 |
1,6 |
= 0,8125. |
|
|
|
k2 |
|
|
||
Полярний момент інерції: |
|
|||||
Iрт = π D4 (1−c4 )= π k24 d 4 (1−c4 ) |
= 0,363d 4 . |
|||||
|
|
32 |
|
32 |
|
|
Рисунок 22
Полярний момент опору: |
|
|
W = π D3 (1−c4 ) |
= π k23 d 3 (1−c4 )= 0,453d 3 . |
|
рт |
16 |
16 |
|
||
– суцільна кругла частина вала:
Полярний момент інерції:
Iрк = π32d 4 = 0,098 d 4 .
Полярний момент опору:
Wрк = π16d 3 = 0,196 d 3 .
Рисунок 23
– прямокутна частина вала: h =1,5 d ; b = h =1,5 d =1,15 d . k1 1,3
Момент інерції при крученні: Iк = β h b3 ,
β = 0,177 залежить від співвідношення сторін прямо-
кутника bh =1,3; (див. табл. 2).
Iк = 0,177 1,5 d 1,153 d 3 = 0,404 d 4 .
Рисунок 24
61
Момент опору при крученні:
Wк =α h b2 ,
α = 0,223 залежить від співвідношення сторін прямокутника bh =1,3; (див. табл. 2).
Wк = 0,223 1,5 d 1,152 d 2 = 0,442 d 3 .
2. Розкриємо статичну невизначуваність даної схеми.
При даному типі навантаження в місцях закріплення вала виникають два реактивні моменти MA та MB в площинах, перпендикулярних до осі стержня. Ступінь статичної невизначуваності n = 2 −1 дорівнює одиниці. Задача є один раз статично невизначувана.
Статичний аспект задачі:
З умов рівноваги вала:
n |
|
|
∑M zi = 0; |
−M A + M1 + M 2 −M3 + M B = 0 . |
(2.3) |
i=1
Геометричний аспект задачі:
Оскільки обидва кінці валу жорстко закріплені, то кут повороту переріза Авідносно Вдорівнює нулю: ϕBА = 0.
На підставі принципу незалежності дії сил абсолютний кут закручування дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування від кожного зовнішнього моменту, і останнє рівняння перепишемо у вигляді
ϕBА(МА )+ϕBА(М1 )+ϕBА(М2 )+ϕBА(М3 )= 0. |
(2.4) |
Фізичний аспект задачі:
Використовуючи формулу закону Гука, запишемо вирази для кутів закручування:
ϕBА(МА )= − |
МА (c +b) |
− |
|
M A a |
− |
M A (c +b) |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
G Iк |
G Iрт |
|
G Iрк |
||||||||
ϕBА(М1 )= |
М1 b |
+ |
M1 a |
+ |
|
M1 (c +b) |
; |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
G Iк |
G Iрт |
|
G Iрк |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
ϕBА(М2 )= |
M 2 a |
+ |
M 2 (c +b) |
; |
|
|
|||
|
G Iрт |
G Iрк |
||
ϕBА(М3 )= − M3 b .
G Iрк
Якщо підставити вирази (2.5) у вираз (2.4), матимемо:
|
|
|
c +b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
c +b |
|
|
|
|
||||||||||||
− М |
А |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Iк |
|
|
|
|
|
|
Iрт |
|
|
|
Iрк |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
c |
+b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ M |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Iк Iрт |
|
|
|
|
|
Iрк |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
c |
+b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||||||
+ M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− M |
|
|
|
|
|
= 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Iрт |
|
|
|
Iрк |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iрк |
|
||||||||||||||
(2.5)
(2.6)
із якого знаходимо значення МА. Аналогічно можна визначити і другий реактивний момент МВ, для чого розглянемо кут закручування перерізу В відносно
А: ϕАВ = 0.
У нашому випадку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− M |
|
|
1,2 |
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0,404 d |
|
|
|
0,363 d |
|
|
|
|
0,098 d |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ M |
|
|
1,0 |
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,363 d |
|
|
|
|
0,098 d |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0,404 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ M |
|
|
1,5 |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
− M |
|
|
1,0 |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0; |
|||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||
|
|
0,363 d |
|
|
0,098 d |
|
|
|
|
|
0,098 d |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
−M A (2,97 + 4,13 +12,24)+
+M1 (2,48 + 4,13 +12,24)+
+M2 (4,13 +12,24)− M3 10,2 = 0;
63
M A = |
M1 18,85 + M 2 16,37 − M 3 10,2 |
= |
|
19,34 |
|||
|
|
= |
5655 +6548 −5100 |
= 367,27 H м; |
|
19,34 |
|
M A = 367,27 Н м.
З рівняння (2.3) знаходимо:
M B = −M1 − M 2 + M 3 + M A =
=−300 −400 +500 +367,27 =167,27 Н м.
3.Будуємо епюру крутних моментів.
4.Доберемо розміри поперечних перерізів на частинах вала з умови міцності:
|
|
τmax = |
|
M к |
≤ [τ]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wi |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трубчаста частина вала: M к = 332,73 Н м |
|
|
|
|||||||
d1 |
≥ 3 |
M к |
= |
3 |
332,73 |
|
= 2,638 10−2 |
м. |
||
|
0,453 [τ] |
|
|
0,453 40 106 |
|
|
|
|||
кругла частина вала: |
Mкmax = 332,73 H м |
|
|
|
|
|||||
d2 |
≥ 3 |
Mкmax |
= |
3 |
332,73 |
|
= 3,488 10−2 |
м. |
||
|
0,196 [τ] |
|
|
0,196 40 106 |
|
|
|
|||
прямокутна частина вала: Mк max = 367,27 H м |
|
|
||||||||
d3 |
≥ 3 |
Mк max |
= |
3 |
367,27 |
= 2,749 |
10−2 |
м. |
||
|
|
106 |
||||||||
|
0,442 [τ] |
|
|
0,442 40 |
|
|
|
|||
З трьох діаметрів слід вибирати більший d = 35мм, знайдений з умови міцності для круглої частини вала.
У цьому разі максимальні дотичні напруження в інших частинах вала:
64
кругла |
τ |
max |
= |
|
Mк |
= |
|
332,73 |
|
|
= 39,59 МПа; |
||||||
|
W |
|
0,196 3,53 106 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
τ |
max |
= |
|
Mк |
|
= |
|
167,27 |
|
|
=19,91 МПа; |
|||||
|
|
W |
|
|
0,196 3,53 106 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
трубчаста |
τ |
max |
= |
|
M к |
|
= |
|
332,73 |
|
|
=17,13 МПа; |
|||||
W |
|
|
|
0,453 3,53 106 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
рт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямокутна |
τ |
max |
= |
M к |
|
|
= |
367,27 |
|
|
=19,38 МПа; |
||||||
W |
0,442 3,53 10−6 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
τ |
max |
= |
|
M к |
|
= |
|
67,27 |
|
|
= 3,55 МПа. |
|||||
|
|
W |
|
0,442 3,53 10−6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.Побудуємо епюру кутів закручування.
Послідовно для частин вала знаходимо значення кутів закручування (в радіанах і в градусах).
|
|
|
|
|
M AD c |
|
|
|
−367,27 0,2 |
|
|
|||||
ϕ |
AD |
= |
|
|
к |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
G |
Iк |
|
|
0,8 105 106 0,404 3,54 10−8 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= −1,515 10−3(рад)= −0,087(град); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M DE b |
|
|
|
−67,27 1,0 |
|
|
|||||
ϕ |
DE |
= |
|
|
к |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
G Iк |
|
|
0,8 105 106 0,404 3,54 10−8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= −1,387 10−3(рад)= −0,079(град); |
|
|
|||||||||
|
|
|
M EF a |
|
|
|
332,73 1,5 |
|
|
|||||||
ϕ |
EF |
= |
|
|
к |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
G Iрт |
0,8 105 106 0,363 3,54 10−8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
=11,453 10−3(рад)= 0,656(град); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
M FH c |
|
|
|
332,73 0,2 |
|
|
||||||
ϕ |
FH |
= |
|
|
к |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
G Iрк |
|
0,8 105 106 0,098 3,54 10−8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= 5,656 10−3(рад)= 0,324(град); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M HB b |
|
|
|
−167,27 1,0 |
|
|
|||||
ϕ |
HB |
= |
|
|
к |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
G Iрк |
|
|
0,8 105 106 0,098 3,54 10−8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= −14,218 10−3(рад)= −0,815(град).
Умови жорсткості виконані, допустимий відносний кут закручування:
65
|
[Θ]= 2 |
град |
; [θ]=35 10 |
−3 |
рад |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|||
|
5,656 10−3 |
28,28 10 |
−3 |
|
рад |
≤[θ]=3,5 |
10 |
−2 |
|
рад |
|||||||
θmax =θFH = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
0,2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
м |
|||
Будуємо епюру кутів закручування:
ϕAD = −0,087о
ϕAE =ϕAD +ϕDE = −0,087 −0,079 = −0,166о
ϕAF =ϕAE +ϕEF = −0,166 +0,656 = 0,49о
ϕAH =ϕAF +ϕFH = 0,49 +0,324 = 0,814о
ϕAB =ϕAH +ϕHB = 0,814 −0,815 ≈ 0
Якщо абсолютний кут закручування перерізу А відносно перерізу В з заданою точністю (3÷5 %) буде дорівнювати нулю, то епюра ϕ побудована вірно.
Точність визначення абсолютного кута закручування ξ можна визначити наступним чином:
ξ = |
ε |
100 % ≤ 3 ÷5 % , |
|
||
|
Ωcp |
|
де ε - різниця між додатними та від’ємними складниками при перемноженні епюр, взятих по модулю; Ωcp - середнє значення між додатними та від’ємними
складниками, взятих по модулю.
ε = 0,814 −0,815 = 0,001;
Ω = 0,814 +0,815 = ср 0,8145;
2
ξ= ε 100 % = 0,001 100 % = 0,12 %.
Ωcp 0,8145
66