СеверинВП ДУ первого порядка

4. Решить уравнения в полных дифференциалах:

1)(2x3 xy 2 )dx (2y3 x2 y)dy 0 ;

2)e y dx (xe y 2y)dy 0 .

Контрольные вопросы

1.Дать определение однородной функции.

2.Дать определение однородного дифференциального уравнения.

3.Какая замена переменных используется при решении однородного дифференциального уравнения?

4.Объяснить принцип решения однородного дифференциального уравнения.

5.Записать дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному дифференциальному уравнению.

6.Какая замена переменных используется при приведении дифференциального уравнения к однородному дифференциальному уравнению?

7.Объяснить принцип приведения дифференциального уравнения

коднородному дифференциальному уравнению.

8.Записать общий вид дифференциального уравнения, приводящегося к однородному дифференциальному уравнению.

9.Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

10.Какое уравнение называется однородным линейным уравне-

нием?

11.Какое уравнение называется неоднородным линейным уравнением?

12.Объяснить метод вариации произвольной постоянной для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

13.Дать определение уравнения Бернулли.

14.Объяснить принцип решения уравнения Бернулли.

15.К какому типу дифференциального уравнения сводится реше-

41

ние уравнения Бернулли?

16.Дать определение уравнения Риккати.

17.В каком случае уравнение Риккати интегрируется разделением переменных?

18.Укажите свойства уравнения Риккати.

19.Запишите специальное уравнение Риккати.

20.В каких случаях специальное уравнение Риккати интегрируется в квадратурах?

21.Дать определение уравнения в полных дифференциалах.

22.Дать определение полного дифференциала функции двух переменных.

23.Какое условие соответствует уравнению в полных дифферен-

циалах?

24.Каким образом находится функция двух переменных по ее полному дифференциалу?

25.Объяснить принцип решения уравнения в полных дифферен-

циалах.

26.Дать определение интегрирующего множителя.

27.Что можно сказать о нахождении интегрирующего множителя

вобщем случае?

28.В каких случаях нахождение интегрирующего множителя упрощается?

29.Приведите условие, когда интегрирующий множитель зависит только от x и запишите формулу для интегрирующего множителя.

30.Приведите условие, когда интегрирующий множитель зависит только от y и запишите формулу для интегрирующего множителя.

31.Объясните принцип нахождения интегрирующего множителя.

42

Функция g(x) , заданная в интервале [a,b] , удовлетворяет в нем условию Липшица, если существует такое число K 0 , что для любых x1 , x2 из [a,b] будет

g(x1) g(x2 ) K x1 x2 .

Достаточным условием выполнения условия Липшица является существование в интервале [a,b] непрерывной производной g (x) . В этом случае можно положить

K max g (x) .

[a,b]

Применим к функции g(x) теорему Лагранжа

g(x1) g(x2 ) g ( )(x1 x2 ) ,

где (x1, x2 ) . Отсюда

g(x1) g(x2 ) g ( ) x1 x2 .

Поскольку (x1, x2 ) , то тем более [a,b] , а значит g ( ) K . По-

этому

g(x1) g(x2 ) K x1 x2 ,

то есть условие Липшица в этом случае выполнено.

Условие Липшица может выполняться и тогда, когда g (x) суще-

ствует не во всех точках интервала [a,b] . Пусть, например, g(x) x .

В точке x 0 функция g (x) не существует, но в то же время g(x1) g(x2 ) x1 x2 x1 x2 .

Таким образом, условие Липшица выполнено с константой K 1.

44

3.2.Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения

Тогда существует такой интервал [x0 h, x0 h] , в котором уравнение

ограничена в этой области, которую мы для определенности считаем ограниченной. Обозначим

M sup f (x, y) .

D

Возьмем теперь число h 0 , удовлетворяющее двум условиям:

1)h меньше каждого из чисел 1 K и 1M ;

2)заштрихованная на рис. 3.1 область G полностью лежит внутри области D .

Предположим, что y(x) – функция, удовлетворяющая уравнению

(3.1) и начальному условию (3.2). Тогда

y (x) f (x, y(x)) .

45

Итак, если функция y(x) есть решение дифференциального уравнения (3.1) с начальным условием (3.2), то оно удовлетворяет и интегральному уравнению (3.4).

Обратно, если функция y(x) есть решение интегрального уравне-

ния (3.4), то во-первых, y(x0 ) y0 , а во-вторых по теореме Барроу

y (x) f (x, y) .

Следовательно, всякое решение интегрального уравнения (3.4) является и решением дифференциального уравнения (3.1) с начальным условием (3.2). Поэтому мы можем доказывать существование и единственность решения именно интегрального уравнения (3.4).

Приступая к доказательству, разобьем его на несколько этапов. I. Строим последовательность функций

x

y3(x) y0 f (t, y2 (t))dt , … .

x0

46

То есть при всех n 0, 1, 2, ... будет

Убедимся, что все такие интегралы существуют.

Первый из этих интегралов существует в силу непрерывности подынтегральной функции. Далее по свойству модуля имеем:

своей дифференцируемости. Отсюда и из выражения (3.6) на основании теоремы о непрерывности сложной функции следует, что при всех x [x0 h, x0 h] функция f (x, y1(x)) также непрерывна, а, значит, и интегрируема. Поэтому и интеграл

x

f (t, y1(t))dt

x0

существует.

Аналогично, если x [x0 h, x0 h] , то

47

x

f (t, y2 (t))dt .

x0

Очевидно, что подобным способом доказывается, что все остальные интегралы также существуют.

Таким образом, существование всех интегралов

x

f (t, yn (t))dt

x0

доказано. Заодно мы показали, что если x [x0 h, x0 h] , то графики всех функций yn (x) находятся в области G (см. рис. 3.1).

48

y1(x) y0 (x) M x x0 Mh 1 ,

49

Поскольку Kh 1 , то ряд (3.8) сходится как геометрическая прогрес-

{yn (x)} сходится в интервале [x0 h, x0 h] также равномерно к неко-

Поскольку можно взять сколь угодно малым, то отсюда следует равенство (3.9).

50