СеверинВП ДУ первого порядка

Поэтому решение неоднородного линейного уравнения ищем в виде

z C(x)x2 .

31

уравнением Бернулли. В общем случае уравнение Риккати не интегрируется в квадратурах. Рассмотрим некоторые свойства этого уравнения.

Т е о р е м а . Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его общее решение может быть получено с помощью квадратур.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть известно частное решение y y1(x) уравнения (2.13), тогда

нию (2.13) в силу тождества (2.14) получим уравнение Бернулли

z [q(x) 2r(x) y1]z r(x)z2 .

Поскольку уравнение Бернулли интегрируется в квадратурах, теорема доказана.

П р и м е р 2 . 4 . Проинтегрировать уравнение Риккати

y y2 2ex y e2x ex ,

Частным случаем уравнения (2.13) является специальное уравне-

ние Риккати

32

где a , b , – постоянные. При 0 имеем

y b ay2

и уравнение интегрируется разделением переменных. При 2 получим

Полагая y 1 z , где z – новая неизвестная функция, найдем

Это однородное уравнение и оно интегрируется в квадратурах.

Кроме 0 и 2 существует еще бесконечное множество других значений , при которых специальное уравнение Риккати (2.15) интегрируется в квадратурах. Они задаются формулой

При всех остальных значениях решение уравнения (2.15) не выражается в квадратурах и при задании начального условия может быть получено одним из численных методов.

2.6. Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой

33

функции u(x, y) двух независимых переменных, то есть

По теореме Шварца смешанные частные производные второго порядка дважды дифференцируемой функции u(x, y) тождественно равны

2u 2u .y x x y

Таким образом, для того, чтобы дифференциальное уравнение (2.16) было уравнением в полных дифференциалах, для входящих в него функций должно выполняться условие

В этом случае уравнение (2.16) приводится к виду du 0 и u(x, y) C будет общим интегралом этого уравнения. Решение уравнения (2.16) сводится к нахождению функции двух переменных по её полному дифференциалу. Это можно сделать способом, известным из математического анализа, с использованием криволинейного интеграла второго рода. Условие (2.17) означает, что такой интеграл не зависит от дуги интегрирования, а зависит только от начальной M0 (x0 , y0 ) и ко-

нечной M (x, y) точек

M

u(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy .

M 0

Однако существует и второй способ, который представим на конкрет-

34

ном примере.

П р и м е р 2 . 5 . Решить дифференциальное уравнение

(x2 4xy)dx ( y 2x2 )dy 0 .

Таким образом, условие (2.17) выполняется, а значит, мы имеем уравнение в полных дифференциалах. Остается найти такую функцию u(x, y) , что

du (x2 4xy)dx ( y 2x2 )dy .

Имеем

u x2 4xy .x

Интегрируя это равенство, получим

u (x2 4xy)dx x3 2x2 y C( y) , 3

где C( y) – произвольная функция. Подберем C( y) так, чтобы было

35

Значит

Итак, общий интеграл исходного дифференциального уравнения

2.7. Интегрирующий множитель

Предположим, что для уравнения (2.16) условие (2.17) не выполняется. Тогда оно не является уравнением в полных дифференциалах. Возникает вопрос, можно ли умножить обе части уравнения (2.16) на такую функцию (x, y) , что новое уравнение

(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0

уже будет уравнением в полных дифференциалах. Если такая функция (x, y) существует, то она называется интегрирующим множителем.

Для нахождения (x, y) получено уравнение в частных производных, которое интегрируется значительно сложнее, чем исходное уравнение. Поэтому найти интегрирующий множитель в общем случае удаётся очень редко. Задача намного упрощается, если этот множитель зависит только от одной переменной x или y .

36

Пусть сначала (x) . Тогда из равенства (2.18)

Проведенные рассуждения верны только в том случае, если интегрирующий множитель, зависящий только от x , существует. Покажем, как об этом можно узнать заранее. Составим выражение

P Qy x

Q(x, y)

и предположим, что оно зависит только от x . Обозначим его через

37

(x) и вычислим (x) по формуле (2.19). Докажем, что это (x) для исходного уравнения есть интегрирующий множитель. Возьмем урав-

38

то есть когда левая часть не содержит x . В этом случае

А значит, интегрирующий множитель существует и равен

Это уравнение в полных дифференциалах и оно интегрируется обычным образом.

Практическое занятие

Т е м а з а н я т и я .

Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах. Ц е л ь з а н я т и я .

Изучить методы решения дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах.

А у д и т о р н о е з а н я т и е .

1. Решить однородные дифференциальные уравнения:

39

С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а .

1. Решить однородные дифференциальные уравнения:

40