Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5171 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

СеверинВП ДУ первого порядка

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
1.31 Mб
Скачать
☆

Производные основных элементарных функций даны в табл. 5.1.

Таблица 5.1 – Производные элементарных функций

f (x)

f (x)

 

 

 

 

xa

a xa 1

ln x

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

f (x)

f (x)

 

 

ax

ax ln a

ex

ex

 

 

sin x

 

 

cos x

arcsin x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

sin x

arccos x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x

 

 

 

1

 

 

 

arctg x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

ctg x

 

 

1

 

 

 

arcctg x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

1 x2

 

 

sh x

 

 

 

ch x

Arsh x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x

 

 

 

sh x

Arch x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

th x

 

 

 

1

 

 

 

Arth x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch 2 x

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

cth x

 

1

 

 

 

Arcth x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2 x

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этой таблице a – некоторый числовой постоянный параметр. Структура таблицы позволяет установить аналогию и отличие между производными тригонометрических и гиперболических функций, а также производными обратных тригонометрических и обратных ги-

91

перболических функций. Здесь обозначены гиперболические и обратные гиперболические функции:

sh x

 

ex e x

,

2

 

 

 

 

th x

ex e x

 

,

ex e x

 

 

Arsh x ln(x x2 1) ,

Arth x 12 ln 11 xx ,

ch x

ex e x

,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

cth x

 

ex e x

 

,

 

 

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arch x ln(x

 

 

x2 1) ,

Arcth x 12 ln11 xx .

Логарифмическое дифференцирование:

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y uv ,

 

ln y v lnu , (ln y)

1

y ,

y y(v lnu) ,

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y v ln u v

 

 

 

u ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) y

u1 u2 un

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v v

2

v

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln y lnu1 lnu2 lnun lnv1 lnv2 ln vm ,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

y y

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

u

 

u

 

 

 

v

 

v

 

 

 

v

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

u2

2

un

 

n

 

v1

1

v2

2

 

vm

m

 

u1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р а в и л а и н т е г р и р о в а н и я .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределенный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx F(x) C ,

 

 

 

 

 

 

 

где F (x)

–

 

первообразная

подынтегральной

функции

 

f (x) ,

F (x) f (x) ; C – произвольная постоянная. Первообразные основных элементарных функций приведены в табл. 5.2.

92

Таблица 5.2 – Основные первообразные

 

f (x)

 

F(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xa

 

xa 1

 

 

 

a 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ln

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

sin x

 

 

 

 

 

sin x

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ctg x

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

F(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

ln

 

tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

1

 

 

 

 

 

1

arctg

x

 

 

 

a2 x2

 

a

a

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x

 

sh x

 

 

 

ln(x

 

x2 a2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh x

 

ch x

 

 

 

ln

x

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

th x

 

1

 

 

 

 

1

 

ln

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch 2 x

 

x2 a2

 

 

 

 

2a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cth x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

1 x

 

 

sh2 x

 

 

1 x2

 

 

2

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этой таблице a – некоторый числовой постоянный параметр. Противоположность действий дифференцирования и интегриро-

вания:

 

f (x)dx f (x) ,

 

 

 

d

 

df (x) f (x) C .

 

 

 

dx

 

 

93

Интеграл суммы

[u(x) v(x)]dx u(x)dx v(x)dx .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Cf (x)dx C f (x)dx .

Интегрирование методом внесения под знак дифференциала. Если

f (x)dx F(x) C ,

то при произвольной функции (x)

f [ (x)]d(x) F[ (x)] C .

Формула интегрирования по частям

udv uv vdu .

Интегрирование методом замены переменных

f (x)dx f [ (t)] (t)dt ,

где t (x) – новая переменная, x (t) – обратная функция. Теорема Барроу

x

d f (t)dt f (x) . dx a

Формула Ньютона-Лейбница

b

f (x)dx F (b) F (a) .

a

94

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения : учебник для вузов / С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В Муратова ; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 3-е изд. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 352 с.

2.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособ. / В.И. Арнольд. – М. : Наука, 1984. – 271 с.

3.Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособ. / М.Л. Краснов. – М. : Высш. шк., 1983. – 128 с.

4.Краснов М.Л. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям : учеб. пособ. / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Высш. шк., 1978. – 287 с.

5.Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям : учеб. пособ. / Н.М. Матвеев. – М. : РОСВУЗИЗДАТ, 1962. – 391 с.

6.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – 5-е изд. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. –

331 с.

7.Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения / Л.С. Понтрягин. – М. : Наука, 1988. – 208 с.

8. Призва Г.Й. Диференціальні рівняння та їх застосування / Г.Й. Призва. – 2-е вид., перероб. і доп. – К. : Вища школа, 1992. – 96 с.

9.Сенчук Ю.Ф. Математический анализ для инженеров : учеб. пособ. : Ч. 1 / Ю.Ф. Сенчук. – Х. : НТУ «ХПИ», 2004. – 408 с.

10.Сенчук Ю.Ф. Математический анализ для инженеров : учеб. пособ. : Ч. 2 / Ю.Ф. Сенчук. – Х. : НТУ «ХПИ», 2006. – 408 с.

11.Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 231 с.

12.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения :

95

учеб. пособ. / М.В. Федорюк. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 448 с.

13.Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : учеб. пособ. / А.Ф. Филиппов. – 7-е изд. – М. : Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1992. – 128 с.

14.Эльсгольц Л. Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения

:учебник / Л.Э. Эльсгольц. – СПб. : Лань, 2002. – 220 с.

15.Эрроусмит Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс ; пер. с англ. Т.Д. Вентцель. – М. : Мир, 1986. – 245 с.

96

Навчальне видання

СЕВЕРИН Валерій Петрович

АНАЛІЗ СИСТЕМ НА ОСНОВІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Навчально-методичний посібник для студентів напрямків 6.040302 «Інформатика»,

6.040303 «Системний аналіз»

Російською мовою

Роботу до видання рекомендував М. І. Безменов

В авторській редакції

План 2012 р., п. 3

Підп. до друку ___.___.___. Формат 60×84 1/16. Папір друк. №2. Друк – ризографія. Гарнітура Times New Roman. Ум. друк. арк. ___. Наклад 100 прим. Зам. №____. Ціна договірна.

____________________________________________________________________

Видавничий центр НТУ «ХПІ» Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 3657 від 24.12.2009 р.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

Друкарня НТУ «ХПІ», 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности