СеверинВП ДУ высших порядков
.pdfность m . Им отвечают 2m частных комплекснозначных решений линейного дифференциального уравнения (5.1):
y e(a ib)x , |
y |
2 |
xe(a ib)x |
, |
y x2e(a ib)x , …, y |
m |
xm 1e(a ib)x , |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
y |
m 1 |
e(a ib) x , y |
m 2 |
|
xe(a ib)x , y |
m 3 |
x2e(a ib)x , …, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y2m xm 1e(a ib)x .
Из этих решений по формулам Эйлера неособенным линейным преобразованием получим 2m вещественных функций:
eax cos bx , |
xeax cos bx , |
x2eax cos bx , |
…, |
xm 1eax cos bx , |
eax sinbx , |
xeax sinbx , |
x2eax sin bx , |
…, |
xm 1eax sin bx , |
Эти функции также являются решениями дифференциального уравнения (5.1). Поэтому в общем решении линейного уравнения (5.1) m - кратной паре комплексно-сопряженных корней 1,2 a ib будет от-
вечать слагаемое
C1eax cos bx C2 xeax cos bx C3 x2eax cos bx Cm xm 1eax cos bx
Cm 1eax sinbx Cm 2 xeax sinbx Cm 3x2eax sinbx C2m xm 1eax sinbx .
Это выражение приведем к виду
eax[(C1 C2 x Cm xm 1) cos bx (Cm 1 Cm 2 x C2m xm 1)sinbx] .
Обозначая
S(x) C1 C2 x Cm xm 1 , T (x) Cm 1 Cm 2 x C2m xm 1 ,
получим слагаемое
eax[S(x) cos bx T (x)sinbx] .
Таким образом, если среди корней характеристического уравне-
61
ния (5.2) имеется несколько кратных пар комплексных корней, то каждой паре ak ibk кратности mk отвечает в общем решении линейного уравнения (5.1) слагаемое
eak x[Sk (x) cos bk x Tk (x)sin bk x] ,
где Sk (x) и Tk (x) – произвольные многочлены степени mk 1.
В общем случае, если характеристическому уравнению (5.2) соответствуют различные комбинации простых и кратных, вещественных и комплексных корней, то общее решение дифференциального уравнения (5.1) в силу его линейности записывается в виде суммы решений, представленных в четырех ранее рассмотренных частных случаях.
П р и м е р 5 . 6 . Найти общее решение уравнения
y(4) 2y y 0 .
Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение имеет вид
4 22 1 0 ,
то есть
(2 1)2 0 .
Находим корни этого уравнения:
1 2 i , 3 4 i .
Корни характеристического уравнения чисто мнимые, поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения
y (C1 C2 x) cos x (C3 C4 x)sin x .
Практическое занятие
Т е м а з а н я т и я .
Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
62
Ц е л ь з а н я т и я .
Изучить методы решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
А у д и т о р н о е з а н я т и е .
1. Решить дифференциальные уравнения:
1) |
|
y y 2y 0 ; |
2) |
y 4y 0 ; |
||
3) |
|
y(5) 10y 9y 0 ; |
4) |
y(4) 5y 4y 0 ; |
||
5) |
|
y(4) 6y 11y 6y 0 ; |
6) |
y 2y y 0 ; |
||
7) |
4y 4y y 0 ; |
8) |
y(5) 6y(4) 9y 0 ; |
|||
9) |
|
y y y y 0 ; |
10) |
y 3y 3y y 0 ; |
||
11) |
y 4y 5y 0 ; |
12) |
y 2y 10y 0 ; |
|||
13) |
y(4) |
y 0 ; |
14) |
y(4) |
4y 0 ; |
|
15) |
y(4) |
y 0 ; |
16) |
y(4) |
4y y 0 ; |
|
17) |
y(5) 8y 16y 0 . |
|
|
|
||
С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а . |
|
|
|
||
1. Решить дифференциальные уравнения: |
|
||||
1) |
|
y 9y 0 ; |
2) 3y 2y 8y 0 ; |
||
3) |
|
y(4) 13y 36y 0 ; |
4) |
y 13y 12y 0 ; |
|
5) |
4y 20y 25y 0 ; |
6) |
y(4) |
8y 16y ; |
|
7) |
|
y 3y 3y y 0 ; |
8) |
y(4) |
2y y 0 ; |
9) |
|
y y 0 ; |
10) |
y 6y 13y 0 ; |
|
11) |
y 9y 0 ; |
12) |
y(4) 16y ; |
||
13) 64y(8) 48y(6) 12y(4) y 0 ; |
14) . y(4) 16y 0 |
||||
63
Контрольные вопросы
1.Какое уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами?
2.Привести общий вид однородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.
3.Какая функция может быть решением однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
4.Как определяется характеристическое уравнение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
5.Что называется характеристическим многочленом однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
6.Сколько корней имеет характеристическое уравнение однородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами?
7.От чего зависит вид решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
8.Какие существуют случаи корней характеристического уравнения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
9.Докажите, что решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая простых вещественных корней характеристического уравнения образуют фундаментальную систему решений.
10.Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая простых вещественных корней характеристического уравнения?
11.Какое линейное преобразование надо выполнить в случае простых комплексных корней характеристического уравнения, чтобы от комплекснозначных решений однородного линейного дифференци-
64
ального уравнения с постоянными коэффициентами перейти к вещественным решениям?
12.Запишите матрицу линейного преобразования комплекснозначных решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами к вещественным решениям в случае простых комплексных корней характеристического уравнения и докажите, что это преобразование неособенное.
13.Запишите общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая простых комплексных корней характеристического уравнения.
14.Сформулировать и доказать лемму о решениях однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения.
15.Как образуется фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения?
16.Докажите, что решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения образуют фундаментальную систему решений.
17.Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения?
18.Запишите общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для случая кратных комплексных корней характеристического уравнения.
65
6.НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вданном разделе излагается общая теория неоднородных линейных дифференциальных уравнений. На основании свойств линейного дифференциального оператора формулируются и доказываются общие теоремы о неоднородных линейных дифференциальных уравнениях, в том числе принцип суперпозиции решений. Формулируется и доказывается теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения, устанавливающая связь с решением однородного уравнения. Обосновывается метод вариации произвольных постоянных как общий метод интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения и показывается, что этим методом может быть получено общее решение неоднородного уравнения.
Даны примеры для аудиторного практического занятия и самостоятельной работы.
6.1. Общие теоремы о неоднородных линейных уравнениях
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравне-
ние
y(n) p1(x) y(n 1) p2 (x) y(n 2) ... pn 1(x) y pn (x) y f (x) . (6.1)
С использованием линейного дифференциального оператора представим это уравнение в сокращенной записи
L[ y] f (x) . |
(6.2) |
|
Докажем две общие теоремы для решений такого уравнения. |
||
Т е о р е м а 1 . Если функции |
v1(x) , v2 (x) , …, |
vm (x) являются |
решениями уравнений L[ y] f1(x) , |
L[ y] f2 (x) , …, |
L[ y] fm (x) , то |
функция |
|
|
66
m
vk (x)
k 1
удовлетворяет уравнению
m
L y fk (x) .
k1
До к а з а т е л ь с т в о . Действительно, по условию
L[v1] f1(x) , |
L[v2 ] f2 (x) , …, |
L[vm ] fm (x) . |
|
||
Складывая эти тождества, получим |
|
|
|||
|
m |
|
m |
|
|
|
L[vk ] fk (x) . |
|
|
||
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
По свойству линейности дифференциального оператора |
|
||||
|
m |
|
m |
|
|
|
L vk |
fk (x) . |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Доказанную теорему называют принципом суперпозиции реше- |
|||||
ний. |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 2 . |
Если |
|
комплекснозначная |
функция |
|
v(x) v1(x) iv2 (x) является решением уравнения с комплекснозначной правой частью
L[ y] f1(x) i f2 (x) ,
то функции v1(x) и v2 (x) являются решениями уравнений
L y f1(x) , |
L y f2 (x) . |
Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию
L[v1 i v2 ] f1(x) i f2 (x) .
По свойству линейности дифференциального оператора
67
L[v1] iL[v2 ] f1(x) i f2 (x) .
Приравнивая в этом тождестве вещественные и мнимые части, получим:
L[v1] f1(x) , |
L[v2 ] f2 (x) , |
что и требовалось доказать.
Очевидно, что доказанные свойства решений неоднородного линейного дифференциального уравнения вытекают из свойств линейного дифференциального оператора L . Поэтому их можно назвать свойствами линейности решений неоднородных линейных уравнений.
6.2. Общее решение неоднородного линейного уравнения
Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6.1) можно получить на основании общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения по следующей теореме.
Т е о р е м а . Общее решение неоднородного линейного уравнения (6.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения L[ y] 0 и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть y1 , y2 , …, yn – фундаментальная система решений однородного уравнения L[ y] 0 . Тогда его общее решение
u C1 y1 C2 y2 ... Cn yn .
Пусть v(x) – какое-нибудь частное решение неоднородного урав-
нения (6.2) и L[v] f (x) . Составим функцию y u v , то есть |
|
y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn v . |
(6.3) |
Докажем, что эта функция является общим решением неоднородного дифференциального уравнения (6.2). По свойству линейного
68
дифференциального оператора имеем
|
L[ y] L[u v] L[u] L[v] . |
|
Поскольку L[u] 0 |
при любых значениях произвольных постоянных |
|
C1 , C2 , …, Cn , то при любых конкретных значениях C1 , |
C2 , …, Cn |
|
будет L[ y] L[v] , |
то есть L[ y] f (x) . Следовательно, |
при любых |
конкретных значениях C1 , C2 , …, Cn функция (6.3) удовлетворяет неоднородному уравнению (6.2).
Покажем теперь, что для любых начальных условий
y |
|
x x0 |
y |
0 |
, |
y |
|
x x0 |
y |
, |
y |
|
x x0 |
y , …, |
y(n 1) |
|
x x0 |
y(n 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
можно так подобрать, и притом единственным образом, значение констант C1 , C2 , …, Cn , что функция (6.3) будет удовлетворять этим начальным условиям.
Дифференцируя функцию (6.3), имеем:
y C y |
C |
y |
... C |
y |
v , |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
|
|
y C y C |
y |
... C |
y |
v , |
|
||
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
|
|
… … … … … … … … … |
|||||||
y(n 1) C y(n 1) |
C y |
(n 1) ... C y (n 1) |
v(n 1) . |
||||
1 1 |
|
2 2 |
|
n |
n |
|
|
Используя начальные условия, получим отсюда:
|
C1 y1 |
(x0 ) C2 y2 |
(x0 ) ... Cn yn (x0 ) v(x0 ) y0 , |
|
|
||||||||||||||
|
C y |
(x |
) C |
2 |
y |
(x |
) ... C |
n |
y (x |
) v (x |
) y , |
|
|||||||
|
1 1 |
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
n 0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
C y(n 1) |
|
|
) C |
y(n 1) (x |
) ... C |
|
y(n 1) (x |
) v |
(n 1) (x |
) y(n 1) . |
||||||||
|
(x |
0 |
n |
||||||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
n |
0 |
|
0 |
0 |
||
Перепишем эту систему линейных алгебраических уравнений относи-
69
тельно неизвестных постоянных C1 , C2 , …, Cn |
в стандартном виде: |
|||||||||||||||||||
C1 y1 |
(x0 ) C2 y2 (x0 ) ... Cn yn (x0 ) y0 |
v(x0 ), |
|
|
||||||||||||||||
|
C y |
(x |
) C |
2 |
y |
(x |
) ... C |
n |
y (x |
) y |
v (x |
), |
|
|
||||||
|
1 1 |
0 |
|
|
|
2 0 |
|
|
n 0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
(6.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
C y(n 1) |
|
|
) C |
|
y(n 1) (x |
) ... C |
|
y(n 1) |
|
) y(n 1) |
v(n 1) (x |
|
|||||||
|
(x |
0 |
2 |
n |
(x |
). |
||||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
n |
0 |
|
0 |
0 |
|
|||
Определителем этой системы является определитель Вронского W (x0 ) . Поскольку функции y1 , y2 , …, yn образуют фундаментальную систему решений однородного линейного уравнения, то они являются линейно независимыми и W (x0 ) 0 . Поэтому из системы (6.4)
C1 , C2 , …, Cn могут быть найдены и притом единственным образом. Следовательно, при любых начальных условиях для неоднород-
ного линейного дифференциального уравнения (6.2) можно найти его частное решение. Тем самым доказано, что функция (6.3) представляет общее решение неоднородного уравнения (6.1).
6.3. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим общий метод интегрирования неоднородного линейного уравнения вида (6.2), когда функция f (x) является произвольной непрерывной или кусочно-непрерывной функцией. Покажем, как
найти решение неоднородного уравнения L[ y] f (x) , |
если известно |
решение соответствующего однородного уравнения L[ y] 0 . |
|
Пусть y1 , y2 , …, yn – фундаментальная система решений одно- |
|
родного уравнения L[ y] 0 . Тогда его общее решение |
|
u C1 y1 C2 y2 ... Cn yn , |
(6.5) |
где C1 , C2 , …, Cn – произвольные постоянные. Будем искать общее решение неоднородного уравнения L[ y] f (x) в таком же виде, а
70