СеверинВП ДУ высших порядков

Для исходной функции y имеем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

2.4. Уравнения, приводящиеся к точным производным

Пусть левая часть дифференциального уравнения (2.1) является точной производной по независимой переменной x некоторой функ-

ции (x, y, y , y , ..., y(n 1) ) . В этом случае порядок этого уравнения понижается на единицу. Действительно, уравнение (2.1) можно переписать в виде

dxd (x, y, y , y , ..., y(n 1) ) 0 .

Следовательно, если функция y(x) является решением такого дифференциального уравнения, то производная по переменной x от функ-

ции (x, y, y , y , ..., y(n 1) ) тождественно равна нулю. Значит, сама функция (x, y, y , y , ..., y(n 1) ) равна постоянной величине, и мы получим первый интеграл

21

(x, y, y , y , ..., y(n 1) ) C .

Таким образом, задача свелась к интегрированию уравнения порядка n 1 , содержащего одну произвольную постоянную.

П р и м е р 2 . 5 . Найти общее решение уравнения

yyy 2 0 .

Ре ш е н и е . Левая часть этого уравнения является точной производной от функции yy . Имеем:

Общее решение запишем в виде

y2 2C1x C2 .

П р и м е р 2 . 6 . Найти общее решение уравнения

yyy 2 0 .

Ре ш е н и е . В этом примере левая часть становится точной производной после деления уравнения на y2 . Имеем:

Окончательно

y C2eC1x .

22

Практическое занятие

Т е м а з а н я т и я .

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение поряд-

ка.

Ц е л ь з а н я т и я .

Изучить методы решения дифференциальных уравнений, допус-

Контрольные вопросы

1.Существуют ли общие методы интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков произвольного вида?

2.Что дает понижение порядка дифференциального уравнения для его решения?

3.Записать общий вид дифференциального уравнения n -го по-

23

рядка, разрешенного относительно старшей производной неизвестной функции и не содержащего ни самой функции, ни ее остальных производных. Как интегрируется такое уравнение?

4.Записать общий вид дифференциального уравнения n -го порядка, не содержащего искомой функции с ее младшими производными.

5.Описать решение дифференциального уравнения n -го порядка, не содержащего искомой функции с ее младшими производными.

6.Привести общий вид дифференциального уравнения n -го порядка, не содержащего независимую переменную.

7.Как решается дифференциальное уравнение n -го порядка, не содержащее независимую переменную?

8.Записать общий вид дифференциального уравнения второго порядка, однородного относительно искомой функции с ее производными.

9.Описать решение дифференциального уравнения второго порядка, однородного относительно искомой функции с ее производными.

10.Как решаются дифференциальные уравнения, приводящиеся к точным производным?

24

Тогда уравнение (3.1) примет вид

Поскольку эти функции непрерывны в [a, b] , то в силу теоремы Коши решение уравнения (3.2) с начальными условиями (1.9) существует и единственно.

Если правые части уравнений (3.1) и (3.2) равны нулю, то линейные уравнения называются однородными. Однородное линейное уравнение имеет вид:

Если же в уравнении (3.2) f (x) 0 , то линейное уравнение называется неоднородным. Вначале будут рассматриваться только однородные линейные уравнения, то есть уравнения вида (3.3).

3.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства

Пусть L — оператор, результат применения которого к некоторой n раз дифференцируемой функции y(x) дается формулой

26

му оператор L называется линейным дифференциальным оператором.

Следовательно, для любой линейной комбинации функций y1 , y2 , …, ym будет

L[c1 y1 c2 y2 ... cm ym ] c1L[ y1] c2 L[ y2 ] ... cm L[ ym ] .

Используя оператор L и учитывая равенство (3.4), представим

27

неоднородное линейное дифференциальное уравнение (3.2) в виде

Однородное линейное дифференциальное уравнение (3.3) примет вид

ния и отыскания решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

3.3.Линейный дифференциальный оператор произведения функций

Докажем еще одно свойство линейного дифференциального оператора L для произведения функций.

Правую часть линейного дифференциального оператора L , представленного равенством (3.5), формально продифференцируем как многочлен по аргументу ddx и получим оператор

Точно так же продифференцируем правую часть этого оператора и получим оператор

dn 4

(n 2)(n 3) p2 (x) dxn 4 ... 2 1 pn 2 (x) .

Продолжая этот процесс, получим операторы:

28

(n 2)(n 3) p2 (x)u(n 4) 21 pn 2 (x)u ,

Ln 1[u] n(n 1)(n 2) 2 u (n 1)(n 2) 1 p1(x)u ,

Ln[u] n!u .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя формулу Лейбница для производных произведения двух функций, имеем:

uv uv , (uv) u v uv ,

(uv) u v 2u v uv ,

(uv)(n) u(n)v nu(n 1)v n(n 1) v uv(n) . 2!

Умножим эти равенства соответственно на pn (x) , pn 1(x) , pn 2 (x) , …, 1 и сложим:

L[uv] [ pn (x)u pn 1(x)u pn 2 (x)u u(n) ]v

29

Изменяя порядок слагаемых в квадратных скобках и используя операторы L , L1 , L2 , …, Ln , получим формулу (3.8).

3.4. Линейно зависимые и линейно независимые функции

Пусть имеется система функций y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) , опреде-

ленных на некотором интервале [a,b] .

Функции y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) , заданные на интервале [a,b] ,

называются линейно зависимыми, если существуют такие числа c1 , c2 ,

…, cn , не все равные нулю, что для всех x [a,b] будет

30