Приклад розв’язання задачі

Рисунок 31 – Розрахунок вала при сумісній дії періодичного згинання та

кручення

60

Прикладемо до зубчастих коліс зусилля F1max , та F2 max , що діють у першому напівперіоді навантаження, і зробимо їх приведення до осі валу. У площині переносу YOX з’являються крутні моменти (рис. 31в).

( ∑M O = 0, ∑M B = 0 ) знаходимо реакції опор RB max та RO max відповідно. З умов рівноваги вала у площині кручення YOX ( ∑M к = 0 ) визначаємо реактивний момент M O .

Будуємо епюри згинальних і крутних моментів (рис. 31г,д) з додатковим визначенням моментів, що діють в перерізах з концентраторами напружень : кільцевої проточки (переріз І), поперечного отвору (переріз ІІ), ступеневого переходу (переріз ІІІ). У перерізі ІV на гладкому валу діють максимальні за абсолютною величиною згинальні моменти.

У другому напівперіоді зовнішні зусилля змінюються на F1min та

. Розрахунок другого напівперіоду проводиться аналогічно. Схема

валу до цього розрахунку і епюри згинальних та крутних моментів наведені на рис.31е,ж,з.

Перевіримо міцність вала у зазначених перерізах, згідно з п. 5 − 12 порядку виконання завдання.

Переріз І. Кільцева проточка

Згинальний та крутний моменти у перерізі:

61

Середній згинальний момент M и m у даному перерізі є від’ємний

(див. пунктирну криву на рис. 32), тому для проведення подальших розрахунків дзеркально відображаємо графік моменту відносно осі часу. Він зображений на рис.32 суцільною кривою.

Приймаємо

σm = (σmax +σmin )/ 2 = (104,3 −34,7)2 = 34,8 МПа;

σa = (σmax −σmin )/ 2 = (104,3 +34,7)2 = 69,5 МПа;

Коефіцієнт асиметрії циклу Rσ

62

Коефіцієнт концентрації нормальних напружень Kσ для кільцевої проточки визначається за допомогою таблиць Д 5.1 та Д 5.2 додатку 5.

а) з таблиці Д 5.1 по значенню співвідношення r / d проточки та тимчасовому опору матеріалу σв знаходимо умовний коефіцієнт концентрації напружень (Kσ )0 ;

б) з таблиці Д 5.2 знаходимо поправочний коефіцієнт ξσ на відношення t / r , де t − глибина проточки, r − радіус її заокруглення;

в) дійсний коефіцієнт концентрації нормальних напружень Kσ

визначається за формулою

Kσ =1+ξσ [(Kσ )0 −1].

У даному прикладі σв = 780 МПа, r / d = r3 / d3 = 3/40 =0,075;

(Kσ )0 ≈ 1.35;

t = (d1 −d3 )/ 2 = (45 – 40)/2 = 2,5 мм; r = r3 = 3 мм

t / r = 2,5/3 = 0,83; ξσ = 0,98;

Kσ =1 +0,98(1,35 −1)=1,343.

Коефіцієнт концентрації дотичних напружень Kτ визначається за аналогічною схемою. У разі, якщо експериментальних відомостей, що до коефіцієнта Kτ немає, його можна обчислити за допомогою емпіричного співвідношення (29):

Kτ = 0,4 +0,6Kσ = 0,4 +0,6 1,343 =1,206 .

63

Коефіцієнт впливу абсолютних розмірів перерізу Kd (масштабний коефіцієнт) знаходиться за допомогою таблиці Д 7.1 додатку 7 по значенню діаметру переріза d та тимчасовому опору матеріалу σв .

У даному перерізі

d = d3 = 40 мм, σв = 780 МПа, Kd ≈0,78; ( Kd = Kdσ = Kdτ ).

Коефіцієнт шорхості KF (коефіцієнт якості обробки поверхні) визначається за допомогою таблиць Д 8.1 та Д 8.2 додатку 8 по наступному алгоритму:

а) по виду механічної обробки поверхні (із вихідних даних задачі) з

Коефіцієнт зміцнення поверхні Kv визначається за допомогою таблиці Д 9.1 додатку 9.

У разі зміцнення поверхні азотуванням деталі з концентратором напружень

Kv = 1,3; ( Kv = Kvσ = Kvτ ).

При відсутності поверхневого зміцнення, приймається Kv = 1.

Коефіцієнти зниження границі витривалості деталі за нормальними та дотичними напруженнями у перерізі І, згідно з формулами (40), (41), відповідно дорівнюють:

64

Часткові коефіцієнти запасу з витривалості деталі за

Часткові коефіцієнти запасу деталі з текучості за нормальними

(nт )σ та дотичними (nт )τ напруженнями:

Сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі з втомленості nу та текучості nт при складному напруженому стані:

Підсумок: сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі у перерізі І з втомленості та текучості відповідають нормативним (1.5−4), прийнятим в машинобудуванні.

65

Переріз ІІ. Поперечний отвір

Згинальний та крутний моменти у перерізі:

Середній згинальний момент M и m у даному перерізі є від’ємний

(див. пунктирну криву на рис. 34), тому для проведення подальших розрахунків дзеркально відображаємо графік моменту відносно осі часу. Він зображений на рис.34 суцільною кривою.

Приймаємо

M иmax =1,965 кНм; M иmin = – 0,654 кНм;

M и m = (M иmax + M иmin )/ 2 = (1,965 – 0,654)/2 = 0,656 кНм; M и a = (M иmax − M иmin )/ 2 = (1,965 + 0,654)/2 = 1,31 кНм.

Примітка: крутні моменти вибираємо лівіше від заданого перерізу, бо і максимальний, і амплітудний моменти там вище, ніж у правому околі перерізу ( 0,3 ≤ M к ≤1,5кНм).

M кmax = 1,8 кНм; M кmin =0;

M к m = (M кmax + M кmin )/ 2 = 1,8/2 = 0,9 кНм; M к a = (M кmax − M кmin )/ 2 = 1,8/2 = 0,9 кНм.

Моменти опору поперечного отвору визначаємо за формулами:

66

де d1 − діаметр вала,

ξσ , ξτ − коефіцієнти ослаблення перерізу поперечним отвором, які знаходяться за допомогою таблиці Д 10.1 додатку 10 з врахуванням співвідношення діаметрів отвору та вала a / d .

У даному прикладі

a / d = d4 / d1 = 5 / 45 = 0,11; ξσ ≈ 0,79, ξτ ≈ 0,94;

Wи = 0,79 3,14 4.53 = 7,06 см3 , 32

Wк = 0,94 3,14 4,53 =16,81 см3 . 16

Нормальні напруження згинання

σm = (σmax +σmin )/ 2 = (278,3 – 92,6)/2 = 92,85 МПа; σa = (σmax −σmin )/ 2 = (278,3 + 92,6)/2 = 185,45 МПа;

Коефіцієнт асиметрії циклу Rσ

τm = (τmax +τmin )/ 2 = 107,1/2 = 53,55 МПа; τa = (τmax −τmin )/ 2 = 107,1/2 = 53,55 МПа;

Коефіцієнт асиметрії циклу Rτ

67

Коефіцієнт концентрації нормальних напружень Kσ для поперечного отвору визначається за допомогою таблиці Д 6.1 додатку 6.

а) попередньо визначається співвідношення діаметрів отвору a і валу d .

б) з урахуванням тимчасового опору матеріалу σв знаходимо по кривих 1 або 2 таблиці Д 6.1 значення коефіцієнту Kσ

Kσ ≈ 2,03;

Коефіцієнт концентрації дотичних напружень Kτ визначається аналогічно за допомогою таблиці Д 6.2 додатку 6. У даному прикладі

Kτ ≈1,82

Коефіцієнт впливу абсолютних розмірів перерізу Kd (масштабний коефіцієнт) знаходиться за допомогою таблиці Д 7.1 додатку 7 по значенню діаметру переріза d та тимчасовому опору матеріалу σв .

У даному перерізі d = d1 = 45 мм, σв = 780 МПа,

Kd ≈0,75; ( Kd = Kdσ = Kdτ ).

Коефіцієнт шорхості KF (коефіцієнт якості обробки поверхні) визначається за допомогою таблиць Д 8.1 та Д 8.2 додатку 8 по наступному алгоритму:

а) по виду механічної обробки поверхні (із вихідних даних задачі) з

68

KF ≈0,86, ( KF = KFσ = KFτ ).

Коефіцієнт зміцнення поверхні Kv визначається за допомогою таблиці Д 9.1 додатку 9.

У разі зміцнення поверхні азотуванням деталі з концентратором напружень

Kv = 1,3; ( Kv = Kvσ = Kvτ ).

При відсутності поверхневого зміцнення, приймається Kv = 1.

Коефіцієнти зниження границі витривалості деталі за нормальними та дотичними напруженнями у перерізі IІ, згідно з формулами (40), (41), відповідно дорівнюють:

Часткові коефіцієнти запасу з витривалості деталі за нормальними (nу )σ та дотичними (nу )τ напруженнями для

знакозмінного циклу ( −1 ≤ R ≤ 0 ), згідно з формулами (49), (52) відповідно дорівнюють:

Часткові коефіцієнти запасу деталі з текучості за нормальними

(nт)σ та дотичними (nт)τ напруженнями у даному перерізі:

69

Сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі з втомленості nу та текучості nт при складному напруженому стані:

Підсумок: Коефіцієнт запасу міцності деталі з втомленості у перерізі ІІ є замалим. При nу <1 деталь не витримає базисне число циклів. Для

збільшення коефіцієнта запасу міцності потрібні додаткові конструктивні або технологічні засоби: збільшення діаметру вала або зменшення діаметра отвору, заміна матеріалу вала на більш міцний, додаткове зміцнення поверхні деталі тощо.

Переріз ІІІ. Ступеневий перехід (галтель)

Згинальний та крутний моменти у перерізі:

70

Середній згинальний момент M и m у даному перерізі є від’ємний

(див. пунктирну криву на рис. 36), тому для проведення подальших розрахунків дзеркально відображаємо графік моменту відносно осі часу. Він зображений на рис.36 суцільною кривою.

Приймаємо

M иmax =1,672 кНм; M иmin =1,382 кНм;

M и m = (M иmax + M иmin )/ 2 = (1,672 + 1,382)/2 = 1,527 кНм; M и a = (M иmax − M иmin )/ 2 = (1,672 – 1,382)/2 = 0,145 кНм. M кmax = 1,5 кНм; M кmin =0,3 кНм;

M кm = (M кmax + M кmin )/ 2 = (1,5 + 0,3)/2 = 0,9 кНм; M кa = (M кmax − M кmin )/ 2 = (1,5 – 0,3)/2 = 0,6 кНм.

Моменти опору ступеневого переходу (галтелі) підраховуємо у перерізі з найменшим діаметром d2 .

σm = (σmax +σmin )/ 2 = (266,2 + 220,1)/2 = 243,15 МПа; σa = (σmax −σmin )/ 2 = (266,2 – 220,1)/2 = 23,05 МПа;

Коефіцієнт асиметрії циклу Rσ

71

τm = (τmax +τmin )/ 2 = (119,4 + 23,9)/2 = 71,65 МПа;

Коефіцієнт концентрації нормальних напружень Kσ для ступеневого переходу (галтелі) визначається за допомогою таблиць Д 3.1 та Д 3.2 додатку 3.

а) з таблиці Д 3.1 по значенню співвідношення r / d та тимчасовому опору матеріалу σв знаходимо умовний коефіцієнт концентрації напружень (Kσ )0 ;

б) з таблиці Д 3.2 знаходимо поправочний коефіцієнт ξσ на відношення діаметрів ступеневого переходу D / d ;

в) дійсний коефіцієнт концентрації нормальних напружень Kσ

визначається за формулою

Kσ =1+ξσ [(Kσ )0 −1].

У даному прикладі σв = 780 МПа, r / d = r2 / d2 = 2,5/40 =0,0625; (Kσ )0 ≈ 1,4;

D / d = d1 / d4 = 45 / 40 =1,125

ξσ = 0,63;

Kσ =1+0,63(1,4 −1)=1,252.

Коефіцієнт концентрації дотичних напружень Kτ визначається за аналогічною схемою по таблицям Д 4.1 та Д 4.2 додатку 4.

У даному прикладі τв = 450 МПа, r / d = r2 / d2 = 2,5/40 =0,0625; (Kτ )0 ≈ 1,3;

D / d = d1 / d4 = 45 / 40 =1,125

72

ξτ = 0,58;

Kτ =1+0,58(1,3 −1)=1,174 .

Коефіцієнт впливу абсолютних розмірів перерізу Kd (масштабний коефіцієнт) знаходиться за допомогою таблиці Д 7.1 додатку 7 по значенню діаметру переріза d та тимчасовому опору матеріалу σв .

У даному перерізі d = d2 = 40 мм, σв = 780 МПа,

Kd ≈0,78; ( Kd = Kdσ = Kdτ ).

Коефіцієнт шорхості KF (коефіцієнт якості обробки поверхні) визначається за допомогою таблиць Д 8.1 та Д 8.2 додатку 8 по наступному алгоритму:

а) по виду механічної обробки поверхні (із вихідних даних задачі) з

Коефіцієнт зміцнення поверхні Kv визначається за допомогою таблиці Д 9.1 додатку 9.

У разі зміцнення поверхні азотуванням деталі з концентратором напружень

Kv = 1,3, ( Kv = Kvσ = Kvτ ).

При відсутності поверхневого зміцнення, приймається Kv = 1.

Коефіцієнти зниження границі витривалості деталі за нормальними та дотичними напруженнями у перерізі IIІ, згідно з формулами (40), (41), відповідно дорівнюють:

73

де коефіцієнти ξσ , ξτ підраховуються по формулам (22) та (23). У даному прикладі

Часткові коефіцієнти запасу деталі з текучості за нормальними

(nт )σ та дотичними (nт )τ напруженнями:

Сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі з втомленості nу та текучості nт при складному напруженому стані:

74

Підсумок: сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі у перерізі ІІІ з втомленості та текучості відповідають нормативним (1.5−4), прийнятим в машинобудуванні.

Переріз ІV. Гладкий вал

Згинальний та крутний моменти у перерізі:

−1,09 ≤ M и ≤ −2,836 кНм; 0,3 ≤ M к ≤1,5 кНм.

Середній згинальний момент M и m у даному перерізі є від’ємний

(див. пунктирну криву на рис. 38), тому для проведення подальших розрахунків дзеркально відображаємо графік моменту відносно осі часу. Він зображений на рис.38 суцільною кривою.

M и m = (M иmax + M иmin )/ 2 = (2,836+1,09)/2 = 1,963 кНм; M и a = (M иmax − M иmin )/ 2 = (2,836 – 1,09)/2 = 0,873 кНм. M кmax = 1,5 кНм; M кmin =0,3 кНм;

M кm = (M кmax + M кmin )/ 2 = (1,5 + 0,3)/2 = 0,9 кНм; M кa = (M кmax − M кmin )/ 2 = (1,5 – 0,3)/2 = 0,6 кНм.

Моменти опору ступеневого переходу (галтелі) підраховуємо у перерізі з найменшим діаметром d2 .

75

Коефіцієнти концентрації нормальних Kσ та дотичних напружень Kτ для гладкого валу приймається рівними за одиницю, незалежно від характеристик матеріалу:

Kσ = Kτ = 1.

Коефіцієнт впливу абсолютних розмірів перерізу Kd (масштабний коефіцієнт) знаходиться за допомогою таблиці Д 7.1 додатку 7 по значенню діаметру переріза d та тимчасовому опору матеріалу σв .

У даному перерізі d = d2 = 40 мм, σв = 780 МПа,

76

Kd ≈0,78; ( Kd = Kdσ = Kdτ ).

Коефіцієнт шорхості KF (коефіцієнт якості обробки поверхні) визначається за допомогою таблиць Д 8.1 та Д 8.2 додатку 8 по наступному алгоритму:

а) по виду механічної обробки поверхні (із вихідних даних задачі) з

Коефіцієнт зміцнення поверхні Kv визначається за допомогою таблиці Д 9.1 додатку 9.

У разі зміцнення поверхні азотуванням деталі без концентратора напружень

Kv = 1.1; ( Kv = Kvσ = Kvτ ).

При відсутності поверхневого зміцнення, приймається Kv = 1.

Коефіцієнти зниження границі витривалості деталі за нормальними та дотичними напруженнями у перерізі ІV, згідно з формулами (40), (41), відповідно дорівнюють:

відповідно дорівнюють:

77

де коефіцієнти ξσ , ξτ підраховуються по формулам (22) та (23). У даному прикладі

Часткові коефіцієнти запасу деталі з текучості за нормальними

(nт )σ та дотичними (nт )τ напруженнями:

Сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі з втомленості nу та текучості nт при складному напруженому стані:

Підсумок: сумарні коефіцієнти запасу міцності деталі у перерізі ІV з втомленості та текучості менш ніж нормативні (1.5−4), прийняті в машинобудуванні, тому потрібні додаткові конструктивні або технологічні засоби: збільшення діаметру вала, заміна його матеріалу на більш міцний, додаткове зміцнення поверхні деталі тощо.

78