Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка 2 Численные

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

343.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

1	34,99	145,645	98,522
	34,157	117,202	1,186
1
	31,142	25,853	0,259	.
1
	4,711	3,3	0,033
1

	66,927		0,644	48,158	3407,442
n 1		40,422	2,081	74,717	4736,376
n 1
xi ijCn 1 j
xi ijCn 1 j		16,808	5,246	33,005	4945,942	.
j 0
		9,969	3,917	75,997	4667,888
		9,969	3,917	75,997	4667,888

Нормуємо отримані вектори, розділивши кожний компонент вектора


на його довжину, тобто			2 . У результаті одержимо:
			2 . У результаті одержимо:
		0,83		0,093	0,396	0,38
x	0,502			0,302	0,615	0,529
x	0,502			0,302	0,615	0,529	.
н	0,209			0,76	0,272	0,552
	0,209			0,76	0,272	0,552
	0,124			0,568	0,625
	0,124			0,568	0,625	0,521

1.6. Метод Лєвєр’є знаходження власних значень

Метод Лєвєр’є (1840 р.) найстарший з прямих методів знаходження коефіцієнтів характеристичного полінома. Він вимагає більшої кількості арифметичних операцій, чим метод Крилова, але відрізняється універсальністю, тому що він не чутливий до деяких особливостей матриці, які можуть привести до рівності нулю проміжних визначників.

Нехай 1 n n p1 n 1 pn – характеристичний поліном матриці і 1, 2 , , n – його корені, серед яких можуть бути кратні. Позначимо

kl sk . l 1

Тоді справедливі співвідношення, що називаються формулами Ньютона:

kpk sk p1sk 1 pk 1s1,	k		.	(21)
		1, n
21

Якщо числа sk відомі, тоді, вирішуючи рекурентну систему (21), можна знайти коефіцієнти pk характеристичного полінома. Визначимо числа sk :

s1 1 2 n Sp A .

Власними значеннями матриці Ak будуть величини k1 , k2 , , kn .

Тоді

sk k1 k2 kn Sp Ak .

Таким чином, процес знаходження коефіцієнтів характеристичного полінома складається з послідовного обчислення степенів матриці А, потім обчислення їхніх слідів, і далі розв’язку рекурентної системи (21). Кі-

лькість необхідних операцій (множення) – 12 n 1 2n3 2n2 n 2 .

1.7. Метод Д.К. Фадєєва знаходження власних значень

Д.К. Фадєєв у 1949 р. запропонував модифікацію методу Лєвєр’є, що, крім спрощення обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома, дозволяє визначити обернену матрицю й власні вектори.

Будемо замість послідовності матриць A, A2 , , An обчислювати послідовність A1, A2 , , An , побудовану в такий спосіб:

A1 A,

A2 AB1,

An 1 ABn 2 ,

An ABn 1,

Доведемо, що:

SpA1 q1,			B1 A1		q1E;
SpA2	q	,	B	A	q	E;

2	2		2	2	2

SpAn 1

(22)

n 1

SpAn

1.q1 p1, q2 p2 , , qn pn ;

2.Bn – нульова матриця;

3. Якщо А – оборотна матриця, то		A 1		Bn 1	. Якщо матриця А –

				pn
особлива, то 1 n 1 Bn 1 буде матрицею, приєднаною до матриці А.
Доведемо п. 1 методом	математичної			індукції. Очевидно, що
p1 SpA q1 . Припустимо, що	q1 p1,	q2	p2 , , qk 1 pk 1 і доведе-

мо, що qk pk . Відповідно до формул (21)

Ak Ak q1Ak 1 qk 1A Ak p1Ak 1 pk 1A .

Отже,

Sp Ak kqk Sp Ak p1Sp Ak 1 pk 1Sp A sk p1sk 1 pk 1s1 .

Звідси в силу формул Ньютона kqk kpk . Таким чином, випливає, що

qk pk .

У силу співвідношення Келі-Гамільтона

B	An p An 1	p	E 0 ,	(23)
n	1	n

ABn 1 An Bn pn E pn E .

Звідси

A 1

B .

(24)

pn n 1

Формула (24) дає алгоритм обернення матриць, що рекомендується застосовувати для матриць не дуже високого порядку, і у випадку, якщо необхідно також знайти власні значення даної матриці.

Кількість операцій (множення), які необхідні для одержання коефіцієнтів pi , включаючи обчислення матриці Bn , становить величину

n3 n 1 .

1.8. Визначення власних векторів за методом Д.К. Фадєєва

Нехай власні значення матриці А обчислені і при цьому виявилися різними. Побудуємо матрицю

Q n 1E n 2 B n 3B B		n 1	,
k k	k 1 k 2

де Bi – матриці, обчислені в процесі знаходження коефіцієнтів характеристичного полінома за методом Д.К. Фадєєва, а k – k-е власне значення матриці.

Можна довести в припущенні, що всі власні значення різні, Qk – ненульова матриця.

Покажемо, що кожний стовпець матриці Qk складається з компонентів власного вектора, що належать власному значенню k . Дійсно,

E A Q E A n 1E n 2B B

k k k k k 1 n 1

n	E n 1 B A n 2			B AB		AB
k	k	1	k	2	1	n 1
n	E p n 1E p		n 2 E p			E.
k	1 k	2	k		n

Отже,

k E A u 0 ,

де u – будь-який стовпець побудованої матриці Qk , тобто ku Au . Ця

рівність показує, що u є власним вектором.

Зауваження.

1. Обчислюючи власні вектори можна обмежитися обчисленням тільки одного стовпця матриці Qk . Його елементи отримують у вигляді

лінійної комбінації з коефіцієнтами однойменних стовпців матриць Bi . 2. Для обчислення стовпця u матриці Qk , можна користуватися ре-

курентною формулою

u0 e; ui kui 1 bi ,

де bi – обраний стовпець матриці Bi ; е – однойменний стовпець

одиничної матриці.

Приклад. Знайдемо власні значення і вектори за методом Д.К. Фа-

	5		7	6	5
		7	10	8	7
дєєва для матриці
	A	6	8	10	9	.

		5	7	9	10

Обчислимо коефіцієнти характеристичного полінома.

						5		7		6		5
							7	10		8		7
	A		A				7	10		8		7	,		p		Sp A								35,						B A p E,
	1						6	8	10			9			1								1								1	1			1
							6	8	10			9
							5	7		9
							5	7		9		10
											30				7							6					5
												7		25								8					7
								B				7		25								8					7		.
								1				6			8					25							9
												6			8					25							9
												5			7							9				25
												5			7							9				25
				40				57		19				3
					57			88		15				2									Sp A2
A	AB				57			88		15				2		, p							Sp A2						146, B						A	p		E ,
A	AB	0														, p				2									146, B					2	A	p	2	E ,
2		0			19			15		69			49							2					2									2	2		2
					19			15		69			49												2
						3		2		49			95
						3		2		49			95
											106			57						19							3

								B			57				58 15												2			.
								2				19		15							77					49
												19		15							77					49
												3			2					49							51
												3			2					49							51
				32				41		17			10
						41		75		10				6										Sp A
						41		75		10				6										Sp A
A	AB														,			p										3		100,		B			A p E,
A	AB														,			p												100,		B			A p E,
3		2				17		10		95				3						3					3									3	3	3
						17		10		95				3											3
								6			3		98
				10				6			3		98
											68				41						17					10
												41		25						10							6
								B				41		25						10							6		.
								3				17		10							5						3
												17		10							5						3
												10			6							3				2
												10			6							3				2
				1 0					0 0																							0			0 0 0
						0		1	0			0							Sp A4														0		0 0 0
														p4					Sp A4							1,					B4
														p4												1,
A4 AB3						0		0 1				0	,		B							4	p					E,					0		0 0 0			.
						0		0 1				0			B		4				A		p				4	E,					0		0 0 0
						0 0											4					4					4						0		0 0 0
						0 0			0 1																								0		0 0 0

Обчислимо обернену матрицю.

		68		41	17	10
	B		41	25	10	6
A 1
	3						.
	p4		17	10	5	3

			10	6	3	2

Вектор		коефіцієнтів	характеристичного	полінома
p 35	146	100 1 . Характеристичний поліном має вигляд:
		4 35 3 146 2 100 1 0 .
Розв’язавши це рівняння будь-яким із чисельних методів, одержимо
власні значення матриці 0,01			0,843 3,858 30,289 .

Знайдемо власні вектори. Для цього візьмемо за основу перший стовпець матриць Bi , які позначимо через Bi 1 , і одиничної матриці e1 . Одержимо

Q n 1e n 2B 1 n 3B 1 B 1 ,							n 4; k				.
Q n 1e n 2B 1 n 3B 1 B 1 ,							n 4; k			1, n	.
k	k	1	k 1	k 2		3
	66,927			0,644	48,158		3407,442
		40,422		2,081	74,717		4736,376
		40,422		2,081	74,717		4736,376
	Q	16,808		5,246		33,005	4945,942		.
		16,808		5,246		33,005	4945,942
		9,969		3,917		75,997	4667,888
		9,969		3,917		75,997	4667,888
Як і в методі А.М. Крилова, нормуємо отримані власні вектори. В ре-
зультаті одержимо:
		0,83		0,093		0,396	0,38
	x		0,502	0,302		0,615	0,529
	x		0,502	0,302		0,615	0,529	.
	н		0,209	0,76		0,272	0,552
			0,209	0,76		0,272	0,552
			0,124	0,568		0,625
			0,124	0,568		0,625	0,521
1.9. Визначення			власних			значень		за				методом
А.М. Данилевського

Ідея А.М. Данилевського (1937 р.) полягає в приведенні вихідної матриці А перетворенням подібності до канонічної форми Фробеніуса:

p		p	2	p	p
	1		2	n 1	n
	1	0		0	0
F	0	1		0	0	.	(25)


	0	0		1	0
	0	0		1	0

Запишемо характеристичний поліном матриці в канонічній формі Фробеніуса

	p1	p2	pn 1		pn
	p1	p2	pn 1		pn
det F E	1			0	0
det F E	0	1		0	0

	0	0		1

			p2		p3	pn 1		pn
	p n 1		1			0		0
	1

			0	0			1
					p3	p4	pn 1		pn
					p3	p4	pn 1		pn
p	n 1 p	n 2			1		0		0
1	2

					0	0		1

p1 n 1 p2 n 2 p3 n 3 1 n 1 pn

1 n n p1 n 1 p2 n 2 pn .

У перетворенні F S 1 AS матрицю S доцільно знаходити шляхом послідовного приведення рядків до канонічного вигляду.

1-й крок. Почнемо із приведення останнього рядка. Припустимо, що елемент an n 1 0 . Поділимо на нього n 1 -й стовпець матриці А. Знову

отриманий n 1 -й стовпець помножимо на an i і віднімемо зі стовпця з номером і. Зробивши це для i 1, 2, , n 2, n , приведемо останній рядок

до виду Фробеніуса. Таке перетворення рівносильне множенню матриці А праворуч на матрицю

		1		0		0	0
		0		1		0	0
		0		1		0	0
M	n 1								.
	n 1	a	n1	a	n2	1	a	nn
			n1		n2			nn
		an n 1		an n 1		an n 1	an n 1
		an n 1		an n 1		an n 1	an n 1
		0		0		0	1
		0		0		0	1

Визначник det M n 1						1		0 , отже, існує обернена матриця
Визначник det M n 1								0 , отже, існує обернена матриця
					an n 1
						1	0			0	0
						0	1			0	0
						0	1			0	0
		1
	M n 1											.
				an1 an2					an n 1		ann
						0	0			0	1
						0	0			0	1
Цим закінчується 1-й крок перетворення. В результаті одержимо мат-
рицю
							a 1		a 1		a 1		a 1
							11		12		1n 1		1n
A	M 1	AM												.
1	n 1		n 1			a 1			a 1		a 1		a 1
							n 11		n 1 2		n 1n 1		n 1n
							0		0		1		0
							0		0		1		0

2-й крок перетворень аналогічний першому і складається в приве-

денні передостаннього рядка матриці

до вигляду Фробеніуса за умови

незмінності останнього її рядка. Припустимо, що в A

0 . Потрі-

n 2 n 1

бне перетворення можна записати у формі

M 1

A M

n 2

M 1

n 1

n 2

2 1

n 2

n 1

a 2

1n 2

1n 1

an 2 1

an 2n 2

an 2 n 1

an 2n

де

			1				0	0				0			0
			0				0	0				0			0
			0				0	0				0			0


M			1			a	1	1			a	1			1
M	n 2	an 11				a	1	1			a	1		an 1 n		,
	n 2						n 1n 3					n 1n 1
		a	1			a	1		a 1		a	1		a	1
			n 1n 2				n 1n 2		n 1n 2			n 1n 2			n 1n 2
			0				0	0				1			0
			0				0	0				0			1
			0				0	0				0			1
					1		0			0		0
					0		1			0		0
					0		1			0		0
			1		1		1			1		1
			M n 2	an 11			an 1 2	an 1 n 1				an 1 n	.
					0		0			1		0
					0		0			0		1
					0		0			0		1

Правило побудови матриць M	n 2	і	M 1	за матрицею A , аналогіч-
	n 2		n 2	1
но правилу побудови M n 1 і M n 11	за матрицею А. Ця аналогія зберігаєть-
ся на всіх наступних кроках.
Таким чином, коли an n 1 0, an1 1 n 2			0, , a21n 1 0 , після виконан-

ня n 1 кроків перетворень матриця А буде приведена до канонічного вигляду Фробеніуса


A			M 1M 1			M		1	AM	n 1	M	2	M	S 1AS
n 1				1	2			n 1		n 1		2	1
	a n 1			a	n 1			a n 1			a n 1			p1		p2	pn 1	pn
		11		12					1n 1		1n				1	0	0	0
			1		0		0				0				1	0	0	0	F.
																			F.

			0		0		1				0				0	0	1	0
			0		0		1				0				0	0	1	0

За першим рядком отриманої матриці F складається характеристичний поліном А:

1 n n p1 n 1 p2 n 2 pn .

Якщо на якомусь кроці виявилося, що ank k n k 1 0 , тоді перетво-

рення методом Данилевського далі проводити не можна. Тут можливі два випадки:

1. Існує елемент ank k l 0 ,

де l n k 1 , тоді переставляємо

n k 1 і l стовпці й n k 1 і l рядки. В результаті одержуємо матрицю подібну А, для якої можливі подальші перетворення за методом Данилевського. На практиці звичайно шукають не просто ненульовий елемент, а максимальний за модулем, а потім переставляють саме його. Це зменшує погрішності при операціях з дійсними числами. При обчисленні власних векторів перестановка повинна бути врахована. В цьому випадку необхідно буде переставити n k 1 і l компоненти відповідних власних векторів.

2. Всі елементи n k -го рядка дорівнюють нулю. Тоді отримана матриця має вигляд

A k		C
	1		.
	0	A k
		2

Отже, характеристичний поліном матриці А дорівнює добутку характеристичних поліномів матриць A1k і A2k . Матриця A2k вже приведена до канонічної форми Фробеніуса, а для матриці A1k необхідно

виконати це перетворення. Таким чином, знаходження характеристичного полінома матриці в даному випадку значно спрощується, але обчислення власних векторів значно ускладнюється.

Кількість арифметичних операцій, необхідних для обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома за методом А.М. Данилевського, зна-


чно менша, ніж у інших методів. На k-у кроці кількість операцій множен-
ня (ділення) n k n k n 1 n k n 2n n k ,						тому загальна кіль-
кість арифметичних операцій складає n3 n2 , тобто						O n3 .
1.10. Визначення				власних	векторів	за	методом
А.М. Данилевського
Визначивши власні значення 1, 2 , , n матриці А, власні вектори
можуть	бути знайдені			шляхом	розв’язку	однорідних	систем
Ax i x,	i		. Але якщо побудовано матрицю S,			за допомогою якої А
		1, n

приводиться до вигляду Фробеніуса F S 1 AS , то знаходження власних векторів, як було доведено вище, значно спрощується. Власні значення матриць F і А збігаються, тому що матриці подібні, тоді, знайшовши влас30

ні вектори матриці F, легко згідно властивості 7 знайти власні вектори матриці А.

Отже, уважаємо власні значення 1, 2 , , n відомими. Знайдемо власні вектори матриці F. Запишемо систему рівнянь Fy i y . В розгорнутому матричному вигляді

p p			2	p	n 1	p	y		y
	1					n		1		1
	1	0		0		0 y2			y2
									i		.

	0	0		1		0
							yn		yn

У складових вектора у система має вигляд:

p1 y1 p2 y2 pn yn	i y1,
y1	i y2 ,	(26)
		(26)

yn 1	i yn.

Власний вектор знаходиться з точністю до чисельного множника, тому можна покласти yn 1 . Тоді всі складові вектора у можуть бути знай-

дені послідовно, починаючи з останнього рівняння системи до першого, і для у одержимо

y ni 1, ni 2 , , i ,1 .

Перше рівняння системи (26)

p1 ni 1 p2 ni 2 pn ni

буде задовольнятися тотожно, тому що i є коренем характеристичного полінома матриці А.

Матриця перетворення подібності S M n 1 M 2M1 . Тоді множна знайти власні вектори матриці А

x Sy M n 1 M 2M1 y .

Кожна матриця Mi , i 1..n 1 відрізняється від одиничної матриці тільки одним рядком. Тому при множенні вектора у на Mi буде змінюва-

тися тільки і-а складова вектора у. Отже, для знаходження вектора х зручно у помножити на M1, M2 , , M n 1 послідовно.

Приклад. Знайти власні	значення		і	власні вектори методом
	11		6	2
А.М. Данилевського для матриці		6	10	4
	A				.
		2	4	6

Матрицю S знайдемо шляхом послідовного приведення рядків до канонічного вигляду, починаючи з останнього рядка. Елемент an n 1 a32 4 0 . Тоді можна побудувати матрицю


							1					0					0								0
							1					0					0				1				0				0
								a				1					a				1					1		3
	M n 1 M 2							31									33													.
	M n 1 M 2											a					a									4		2		.
								a				a					a				2					4		2
							32					32					32
																									0			1
							0					0					1				0				0			1
							0					0					1

Матриця M2		– оборотна,				оскільки									det M 2							1	.		Тоді існує обернена
Матриця M2		– оборотна,				оскільки									det M 2							4	.		Тоді існує обернена
матриця																						4
матриця
					1				0				0						1		0					0
		M 2 1										a33
		M 2 1		a31 a32								a33							2		4					6 .
					0				0				1						0		0
					0				0				1						0		0					1
																											3
											1					0		0						8						7
		11		6				2			1					0		0						8			2			7
		11		6				2				1				1	3										2
AM2												1				1	3										5
			6 10			4																1								11	.
			6 10			4						2				4	2					1					2			11	.
			2	4			6					2				4	2										2
			2	4			6					0				0						0					1			0
												0				0		1				0					1			0

																	3											3
														8					7						8					7
				1										8			2		7						8			2		7
				1			0 0										2											2
1																	5
1																	5
M 2	AM2 A1 2					4 6								1						11					20 19					58		.
M 2	AM2 A1 2					4 6								1						11					20 19					58		.
																	2
							0			1							2
				0			0			1			0				1								0			1		0
													0				1			0					0			1		0

													32

Елемент an1 1n 2					a211			20 0 . Тоді можна побудувати матрицю M1 .
					1				a 1					a 1
									22						23				1				19				29
						1			1						1
						1			1						1					20			20			10
				a21					a21					a21						20			20			10
		M	1		0				1				0							0			1			0					.
			1
																				0			0			1
					0				0				1							0			0			1
					0				0				1

Матриця M1		–		оборотна,					оскільки						det M1							1		. Тоді існує обернена
Матриця M1		–		оборотна,					оскільки						det M1						20			. Тоді існує обернена
матриця																					20
матриця
						a 1			a	1		a 1						20				19				58
							21			22			23
		M1 1					0		1			0								0			1			0				.

							0		0			1								0			0
							0		0			1								0			0					1
					3							1					19 29							2						61 81
				8				7
					2							20				20 10									5				10				5
A M	1			20 19 58								0				1				0					1				0				0	.
1	1
				0 1				0				0				0				1					0				1				0
				0 1				0				0				0				1					0				1				0

																						2				61						81

										20			19					58				5				10				5
										20			19					58				5				10				5
A	M 1 A M										0				1							1				0				0
A	M 1 A M						1				0				1					0		1				0				0
2				1	1		1				0				0

																				1		0				1
																						0				1						0

			27		180				324
				1			0				0
				1			0				0	.
				0			1				0
				0			1				0

Таким чином, отримали характеристичний поліном матриці

1 3 3 27 2 180 324 0 .

Корні характеристичного полінома, тобто власні значення матриці А,

									3, 6, 18 .
Знайдемо власні вектори у матриці A2 .
							yi 2i , i , 1 ,							i 1, 2, 3.
										9		36		324
								y			3	6	18
								y			3	6	18		.
												1	1
										1		1	1
Знайдемо матрицю перетворення подібності
											1		19			29	1	19	29
				1		0 0
				1		0 0					20		20		10		20	20	10
					1		1 3				20		20		10		20	20	10
S M	2	M	1		1		1 3				0		1		0		1	29 59		.

					2		4 2										40	40 20
					2		4 2										40	40 20
					0	0 1					0		0		1		0	0	1
					0	0 1					0		0		1		0	0	1

Тоді власні вектори матриці А

				1	19	29

9		36	324	20	20	10	0.5		1	2
9		36	324	20	20	10	0.5		1	2
				1	29	59
x Sy	3 6		18					1	0.5	2	.
x Sy	3 6		18	40	40	20		1	0.5	2	.
	1	1	1	40	40	20		1	1	1
	1	1	1	0	0	1		1	1	1
				0	0	1

Нормуємо отримані вектори, розділивши кожний компонент вектора на його довжину, тобто 2 . У результаті одержимо:

0.333		0.667	0.667
	0.667	0.333	0.667
x				.
	0.667	0.667	0.333

2.ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ НА ЛАБОРАТОРНУ РОБОТУ

1.Додати в розроблений клас «Матриця» метод, що дозволяє обчис-

лити коефіцієнти її характеристичного полінома за методом А.М. Крилова.

2.Додати метод, що дозволяє обчислити коефіцієнти характеристичного полінома матриці за методом Д.К. Фадеєва та її обернену матрицю.

3.Додати метод, що дозволяє обчислити коефіцієнти характеристичного полінома матриці за методом А.М. Данилевського.

4.Додати метод, що дозволяє по відомому характеристичному поліному знайти його корені, тобто власні значення матриці.

Для локалізації власних значень скористатися умовою

max

Таким чином, всі власні значення будуть належати проміжку

Як метод знаходження коренів полінома можна обрати, наприклад, метод хорд.

Алгоритм методу хорд.

Якщо знайдено інтервал локалізації кореня рівняння a, b , на кінцях якого функція приймає значення з різними знаками, тобто f a f b 0 , то чергове наближення буде у точці x1 , де перетинає вісь абсцис пряма, що проведена через точки f a і f b .

Як новий інтервал для продовження ітераційного процесу обирається той з двох a, x1 або x1, b , на кінцях якого функція f x має значення з

різними знаками, тобто один з кінців початкового інтервалу a, b фіксується. Позначимо його через x0 .

Таким чином, для визначення точки перетину на k 1 -у кроці справедлива формула:

xk 1 xk f xkf xkf x0 xk x0 .

Процес уточнення кореня закінчується, коли відстань між черговими наближеннями стане меншою заданої точності ε, тобто коли xk 1 xk ,

або коли значення функції f x попадуть у область шуму, тобто f xk 1 .

Методом хорд можна також шукати початкове наближення до кореня. У цьому випадку фіксується один з кінців інтервалу, наприклад, точка a, і через точки а і x1 a, b проводиться хорда. Причому в даному випа-

дку функція в точках а і x1 може мати однакові знаки. Далі шукається точка перетину з віссю абсцис

c x1 f x1f x1f a x1 a .

Після цього розглядається новий інтервал x1, c і процес повторюється до тих пір, поки f c . Точка с у даному випадку і буде коренем рівняння.

Після знаходження будь-якого кореня характеристичного полінома для обчислення інших коренів треба перейти від початкового полінома

1 n n p1 n 1 pn 1 n Pn

до полінома

Pn 1 Pn

з коефіцієнтами 1, b1, b2 , ,bn 1 , де с – знайдений корінь. Для цього можна використати схему Горнера:

b0 1,

b1 p1 cb0 , b2 p2 cb1,

bn 1 pn 1 cbn 2.

5.Додати метод, що дозволяє обчислити власні вектори матриці за методом А.М. Крилова. Передбачити можливість перевірки наявності кратних власних значень.

6.Додати метод, що дозволяє обчислити власні вектори матриці за методом Д.К. Фадеєва. Передбачити можливість перевірки наявності кратних власних значень.

7.Додати метод, що дозволяє обчислити власні вектори матриці за методом А.М. Данилевського.

3.КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1.Що називають характеристичним поліномом матриці?

2.Що називають характеристичним рівнянням матриці?

3.Що називають власними значеннями матриці?

4.Що називають спектром матриці?

5.Які властивості мають власні значення і власні вектори матриць?

6.Які проблеми (задачі) при знаходженні власних значень і векторів існують?

7.На які класи поділяються чисельні методи знаходження власних значень і векторів? Наведіть приклади методів різних класів.

8.У якому випадку задача знаходження власних значень буде нестійкою?

9.У яких випадках задача знаходження власних векторів буде нестійкою?

10.Для яких типів матриць задача знаходження власних значень завжди стійка?

11.У чому складається ідея методу А.М. Крилова? Яку він має кількість арифметичних операцій для обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома?

12.Як за допомогою метода А.М. Крилова після обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома і знаходження власних значень матриці обчислити власні вектори? Які цей метод має обмеження?

13.У чому складається ідея методу Лєвєр’є? Яку він має кількість арифметичних операцій для обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома?

14.Яку модифікацію вніс Д.К. Фадєєв у метод Лєвєр’є? Яку вона має кількість арифметичних операцій для обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома?

15.Як за допомогою метода Д.К. Фадєєва після обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома і знаходження власних значень матриці обчислити власні вектори? Які цей метод має обмеження?

16.У чому складається ідея методу А.М. Данилевського? Яку він має кількість арифметичних операцій для обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома?

17.Як за допомогою метода А.М. Данилевського після обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома і знаходження власних значень матриці обчислити власні вектори?

18.Який з чисельних методів, крім обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома, дозволяє обчислити обернену матрицю?

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2000. – 266 с.

2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. – М. : Наука, 1977. – 304 с.

3.Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. – М. : Мир, 2001. – 430 с.

4.Кутнів М.В. Чисельні методи : навч. посібник / М.В. Кутнів. – Львів : НУ «Львівська політехніка», 2008. – 200 с.

5.Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы / Б. Парлет. – М. : Мир, 1983. – 384 с.

6.Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Дж. Х. Уилкинсон. – М. : Наука, 1970. – 564 с.

7.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. – М. : Физматгиз, 1963. – 734 с.

8.Цегелик Г.Г. Чисельні методи / Г.Г. Цегелик. – Львів : ВЦ ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с.

9.Шахно С.М. Чисельні методи лінійної алгебри : навч. посібник / С.М. Шахно. – Львів : ВЦ ЛНУ ім. І. Франка, 2007. – 245 с.

		ЗМІСТ
ВСТУП..............................................................................................................			3
1.	ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ.................................................................		4
	1.1.	Класифікація методів знаходження власних значень і
		векторів .........................................................................................	4
	1.2.	Властивості власних значень і векторів.......................................	6
	1.3.	Стійкість проблеми власних значень...........................................	9
	1.4.	Метод А.М. Крилова для визначення власних значень............	13
	1.5.	Визначення власних векторів за методом А.М. Крилова.........	19
	1.6.	Метод Лєвєр’є знаходження власних значень...........................	21
	1.7.	Метод Д.К. Фадєєва знаходження власних значень.................	22
	1.8.	Визначення власних векторів за методом Д.К. Фадєєва ..........	23
	1.9.	Визначення власних значень за методом
		А.М. Данилевського...................................................................	26
	1.10. Визначення власних векторів за методом
		А.М. Данилевського...................................................................	30
2. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ НА ЛАБОРАТОРНУ РОБОТУ..........			35
3.	КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ...............................................................		37
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ................................................................................			38

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи «Прямі методи знаходження власних значень і

векторів» та курсового проектування з курсів «Чисельні методи», «Обчислювальні методи» для студентів напрямків

6.040303 «Системний аналіз», 6.040302 «Інформатика»

Укладач: МАРЧЕНКО Наталя Андріївна

Відповідальний за випуск О.С. Куценко

Роботу до видання рекомендував М.І. Безменов

За авторською редакцією

План 2009 р., поз.

Підписано до друку __________. Формат 60x84 1/16. Папір офсетний. Друк – ризографія. Гарнітура Таймс. Ум. друк. арк. 1,6.

Обл.-вид. арк. 2,0. Наклад 50 прим. Зам. №___ . Ціна договірна.

_______________________________________________________

Видавничий центр НТУ «ХПІ».

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 116 від 10.07.2000 р. 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

_______________________________________________________

Друкарня НТУ «ХПІ». 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20251.75 Mб1Методические_рекомендации_ЧМИ.doc
#
01.07.20251.63 Mб2Методичка (ИТР)готовая .doc
#
20.03.201619.11 Mб59Методичка (Нарисна геометрiя).doc
#
01.07.20251.2 Mб2Методичка - Львов,Сукиасов-12г.doc
#
02.02.2015469.47 Кб36Методичка 1 Численные.pdf
#
02.02.2015343.79 Кб44Методичка 2 Численные.pdf
#
20.11.20181.37 Mб33Методичка 2011 к КП.doc
#
01.07.2025143.36 Кб2Методичка 2011 револ июнь.doc
#
02.02.2015669.18 Кб9Методичка GV.doc
#
01.05.202596.8 Кб2Методичка Word.docx
#
01.07.2025233.98 Кб1Методичка іннов. мен.doc