9 Сынып.

а,в,с-үшбұрыштың қабырғалары болсын. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі О-нүктесі АА₁ биссектрисасын АО:А₁О=(в+с):а қатынасында бөлетіндігін

д

С

В

А

әлелдеңдер.

а-х

х

В₁

А₁

О

Шешуі: , х= ,

BA₁= a- = = ,

AO:A₁O=c: = :a д.к.о

9 Сынып.

Үшбұрыштың екі медианасы перпендикуляр орналасқан, m_a┴m_b , үшбұрыштың қабырғалары: a, b, c

Дәлелдеу керек: 5с²= а²+в²

9 Сынып.

Табаны АД болатын АВСД трапециясы берілген. М нүктесі А және В төбелеріндегі

сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал N нүктесі С және

Д төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

МN кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең екендігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу керек MN=

P=

Шешуі: ∆АВМ -тік бұрышты үшбұрыш, себебі ішкі тұстас бұрыштардың биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады.

Тікбұрышты үшбұрыштың тікбұрышының медианасы гипотенузаның жартысына тең.

ME= сол сияқты FN= EF=

ME+EF+FN= + + =

9 Сынып.

Берілгені: а,в,с- үшбұрыштың қабырғалары және

а+в+с=2

Дәлелдеу керек: а² +в² +с² <2(2-авс) екендігін.

Дәлелдеу жолы: а,в,с- үшбұрыштың қабырғалары болғандықтан, мына теңсіздіктер тура болады: бағандап көбейтуге болады, өйткені а>0 в>0 с>0

(а+в)(в+с)(а+с)>авс

(ав+ас+в² +вс)(а+с)=а²в+а²с+ав²+авс+авс+ас²+в²с+вс²>авс

ав(а+в+с)+ас(а+в+с)+вс(в+с-а)>0

в+с=2-а болғандықтан 2ав+2ас+вс(2-а-а)>0

2ав+2ас+вс(2-2а)>0 бұдан 2ав+2вс+2ас=4- 4-(а²+в²+с² )>2авс 4-2авс>а²+в²+с² 2(2-авс)> а²+в²+с^{2 д.к.о}

9 Сынып.

Берілгені: кез-келген а,в,с-теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңдер:

ав+вс+ас≥

Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын авс-ға бөлуге болады, себебі берілгені бойынша а ,в, с - оң сандар.

≥ ≥ теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз, сонда теңсіздік мынадай түрге келеді:

≥

≥ теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтіп, айырманың квадратына келтіреміз.

≥

≥0 д.к.о.

9 Сынып.

Диаметрі d-ға тең дөңгелекте өзара перпендикуляр АВ және CD хордалары жүргізілген. AC²+BD²=d²

болатынын дәлелдеу керек.

Шешуі: AD²=AE²+ED² S_ABD= S_ABD=

=

S_ACD= S_ACD=

=

Бұдан шығады.

9 Сынып.

Есептеңдер:

Шешуі: Қосылғыштарды бағандап жазамыз, сонда әрбір жол геометриялық прогрессияның қосындысы болады.

2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰

2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰

2³+ ..............................+2¹⁰

2⁴+.........................+2¹⁰

..........................

......................

2⁹+2¹⁰

2¹⁰

т.с.с. Бәрін қосамыз, сонда Жауабы: