1. Свободные колебания

1.1. Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы , закреплённый на пружине жёсткостью .

Пусть  — это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем

Обозначая и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем:

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент ω₀ называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на 2π)

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Здесь  — амплитуда,  — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте),  — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t. И остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

движение по кругу и движение гармоническое

Общее решение уравнения записывается в виде:

,

где амплитуда A и начальная фаза  — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Кинетическая энергия записывается в виде

.

и потенциальная энергия есть

тогда полная энергия имеет постоянное значение

1.1.1. Простое гармоническое движение

Простое гармоническое движение — это движение простого гармонического осциллятора, периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна перемещению x, и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то перемещение x тела в любой момент времени даётся формулой:

где

A — это амплитуда колебаний,

f — частота,

φ — начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (t).

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Здесь ось скорости и ось положения показаны иначе по сравнению с обычным изображением осей координат — это сделано для того, чтобы оба рисунка соответствовали друг другу. Real Space — реальное пространство; Phase Space — фазовое пространство; velocity — скорость; position — положение (позиция).

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

F = − kx,

где

F — возвращающая сила,

x — перемещение груза (деформация пружины),

k — коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.

2. Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.