Тема 3. Законы сохранения

 

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, массы и скорости которых соответственно равны   Пусть   равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а   равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

. . . . . . . . .

 .

Складывая эти уравнения, получим

 

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

 ,

или

 , (3.1.1)

где   импульс системы, равный геометрической сумме импульсов тел, входящих в систему.

Таким образом,производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (для замкнутой системы)

 (3.1.2)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса.

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени при любых движениях тел внутри системы.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики) и для любых скоростей движения частиц. Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются.

Отметим, что, согласно (3.1.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т.п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость   , то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm, а скорость станет равной   . Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где   - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

Если на систему действуют внешние силы, то     , поэтому

 =   ,

или

 (3.1.3)

Второе слагаемое в правой части (3.1.3) называют реактивной силой   .

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

(3.1.4)

которое впервые было выведено И.В.Мещерским (1859 - 1935).

Применим уравнение (3.1.3) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса   , то C = u ln   . Следовательно,

 . (3.1.5)

Это соотношение называется формулой Циолковского.

http://megaobuchalka.ru/5/10802.html

Закон сохранения момента импульса. Физические основы гироскопа

Закон динамики вращательного движения для твердого тела имеет вид:

 . (3.2.1)

Аналогичное выражение можно получить, если рассматривать вращательное движение механической системы относительно неподвижной оси. В этом случае   - суммарный момент импульса системы,   - суммарный момент внешних сил, приложенных к системе.

Если суммарный момент всех внешних сил действующих на физический объект (систему), равен нулю, т.е. система – замкнутая, то для замкнутой системы   .

Следовательно:   .

Последнее выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется (не изменяется) с течением времени.

Это фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Для того, чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых удерживается ось. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями(илиосями свободного вращения).

Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерциитела).

Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис.3.1).

Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

 Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела.

Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом - неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис.3.1).

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы- массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

 Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил   , приложенных к оси вращающегося гироскопа (Рис. 3.2), ось отклоняется в направлении, перпендикулярном направлению действия сил. Гироскопический эффект объясняется тем, что момент сил   направлен вдоль прямой О₂О₂. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение   , сонаправленное с вектором момента. Направление вектора   совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃. Движение оси момента импульса гироскопа в результате действия на него внешних сил называется прецессией.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают гироскопические силы, действующие на опоры. Гироскопы применяют в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т.д.). Другое важное применение гироскопов – поддержание заданной ориентации объекта в пространстве (гироскопические платформы).

http://megaobuchalka.ru/5/10803.html

Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила   , которая составляет некоторый угол   с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению силы   на перемещение точки приложения силы и косинус угла   между векторами силы и перемещения:

 . (3.3.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, в этом случае формулой (3.3.1.) пользоваться нельзя. Однако, если рассмотреть элементарное перемещение   , то силу   можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным.

Элементарной работой силы   на перемещении   называется скалярная величина

 , (3.3.2)

где   - угол между векторами   и   ;   - элементарный путь (рис. 3.3).

 Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

 (3.3.3)

Из формулы (3.3.1.) следует, что при   работа силы положительна, если   , то работа силы отрицательна. При   (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая постоянной силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж=1   ).

Работа, совершаемая в единицу времени - мощность:

 . (3.3.4)

За время dt сила   совершает работу   , и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени:   , т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы.

Единица мощности - ватт(Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1с совершается работа в 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).

 

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения этой системы. Сила   , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы   на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до   , идет на увеличение кинетической энергии d   тела, т.е.

dA=d   .

Используя второй закон Ньютона   и умножая обе части равенства на перемещение   , получим:

 .

Так как   , то   ,

Откуда:   .

Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

 . (3.3.5)

Из формулы (3.3.5) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (3.3.5) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. Поле как форма материи, осуществляющая взаимодействие между частицами вещества. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку.

Потенциальная энергия– это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными.Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения. Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией   . Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA = - d   . (3.4.1.)

Работа dA выражается как скалярное произведение силы   на перемещение   и выражение (3.4.1.) можно записать в виде

 . (3.4.2.)

Следовательно, если известна функция   (   ), то из формулы (3.4.2.) можно найти силу   по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя их (3.4.2.) как

 ,

где С - постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная   по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Для консервативных сил

 ,   ,   ,

или в векторном виде

 , (3.4.3.)

где

 (3.4.4.)

(   - единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (3.4.4.), называется градиентом скалярной функции  .

Для него наряду с обозначением grad  применяется также обозначение  .   ("набла") означает символический вектор, называемый набла-оператором:

 . (3.4.5.)

Конкретный вид функции  зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

 , (3.4.6.)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого   =0. Выражение (3.4.6.) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина   ),

 . (3.4.7)

Найдем потенциальную энергию пружины упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

 , (3.4.8)

где   - проекция силы упругости на ось х; k-коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что  направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположна ей по направлена, т.е.

 .

Элементарная работа dA, совершаемая силой   при бесконечно малой деформации dx, равна

 ,

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

 .

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы -энергия механического движения и взаимодействия:

 ,

т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

http://megaobuchalka.ru/5/10804.html

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии

Пусть:

- дана система материальных точек массами m_i, i=1,2…n;

-   - равнодействующая внутренних консервативных сил, действующих на i – тую точку системы;

-   - равнодействующая внешних консервативных сил, действующих на i – тую точку системы;

- неконсервативные силы отсутствуют;

- v_i<<c.

 

Запишем для всех точек системы второй закон Ньютона в виде:

 , где   i=1,2…n.

Пусть за dt каждая из точек под действием сил переместится на   . Умножая каждое из предыдущих уравнений на соответствующее ему последующее, имеем:

 , где   i=1,2…n ,

или:   , где   i=1,2…n .

Сложим эти уравнения и получим:

 . (3.5.1)

Первый член этого равенства – приращение кинетической энергии системы, так как:   .

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии системы:

 .

Тогда уравнение (3.5.1)можно записать в виде:

 .

 

Откуда:   . Т.е. полная механическая энергия такой системы сохраняется. Итак:

Закон сохранения полной механической энергии:В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется. Этот закон связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (рассеянием) энергии. Строго говоря, все системы в природе – диссипативные.

Общефизический закон сохранения энергии: В изолированной системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

 

 

Соударение тел.

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар(или соударение) - это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т.д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления  :   . Если для сталкивающихся тел   =0, то такие тела называются абсолютно неупругими,если   =1 - абсолютно упругими.На практике для всех тел 0<  <1 (например, для стальных шаров  0,56, для шаров из слоновой кости  0,89, для свинца  0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие. Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.Удар называется центральным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар- столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

 Обозначим скорости шаров массами   и   до удара через   и   (рис. 3.4). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное - движению влево. При указанных допущениях законы сохранения имеют вид:

 , (3.6.1)

 . (3.6.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (3.6.1) и (3.6.2), получим

 , (3.6.3)

 , (3.6.4)

откуда:   . (3.6.5)

Решая уравнения (3.6.3) и (3.6.5), находим

 , (3.6.6)

 . (3.6.7)

Рассмотрим несколько частных случаев.

 

1) При   =0

 , (3.6.8)

 . (3.6.9)

Проанализируем выражения (3.6.8) и (3.6.9) для двух шаров различных масс:

 а)   >   . Первый шаг продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (   ). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (   ) (рис. 3.5).

 

 

 б)   <   . Направление движения первого шара при ударе изменяется - шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е.   (рис. 3.6).

 

в)   >>   (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (3.6.8) и (3.6.9) следует, что   ,   .

 

2) При   =   выражения (3.6.6) и (3.6.7) будут иметь вид

 ,   ,

т.е. шары равной массы "обмениваются" скоростями.

 

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 3.7).

 Если массы шаров   и   , их скорости до удара   и   , то, используя закон сохранения импульса, можно записать

 ,

откуда

 . (3.6.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит "потеря" кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту "потерю" можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

 .

Используя (3.6.10), получим

 .

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (   ), то

 ,   .

Когда   >>   (масса неподвижного тела очень большая), то v<<   и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (   >>   ), тогда   и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар - пример того, как происходит "потеря" механической энергии под действием диссипативных сил.

http://megaobuchalka.ru/5/10805.html

Работа и кинетическая энергия

Чтобы у тела изменилась скорость, на тело должна подействовать сила. Но изменение скорости происходит при перемещении тела.

Можно установить прямую связь между силой, действующей на тело, его перемещением и изменением скорости тела на рассматриваемом участке траектории движения.

Пусть на тело массы m, двигавшееся со скоростью   начала действовать сила   под углом   к направлению движения тела. Под действием этой силы тело совершает перемещение   и скорость тела изменяется от   до 

Сделаем чертеж и опишем сюжет на математическом языке.

Выберем инерциальную систему отсчета, свяжем ее с Землей.

Точку отсчета совместим с тем положением тела, когда на него только начала действовать сила. В этот же момент начнем отсчитывать время.

Так как движение происходит в одном направлении, ограничимся одной координатной осью. Выберем направление, совпадающее с направлением движения.

Закончим отсчет времени в тот момент, когда скорость тела достигла искомой величины 

Изобразим на чертеже кинематические характеристики движения тела: его перемещение, начальную и конечную скорости, ускорение, а также динамическую характеристику – силу.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на выбранное направление.     x: F ∙ cos α = m ∙ a.

В связи с поставленной задачей, домножим правую и левую часть уравнения на S:

F ∙ S ∙ cos α = m ∙ a ∙ S.

Из кинематики известно, что ускорение движения связано с начальной и конечной скоростью движения соотношением: 

С учетом этого имеем: 

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Физическая величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, на модуль перемещения тела под действием этой силы и на косинус угла между направлением силы и перемещения, называется работой силы:  A = F ∙ S ∙ cos α.

Таким образом, работа силы равна изменению кинетической энергии тела:  A = ΔEk.

Это утверждение называется теоремой об изменении кинетической энергии тела.

Работа силы и кинетическая энергия – величины скалярные.

Чтобы получить единицу работы, надо в определяющее уравнение работы подставить единицы силы – 1 Н и перемещения – 1 м. Получаем: 1 Н∙м. Эта единица имеет собственное название – 1 джоуль (1 Дж).

Если тело движется по инерции, силы на него не действуют, работа не совершается и кинетическая энергия не изменяется.

Если на тело действует сила, но тело покоится, работа силы равна нулю.

Если на тело действует сила и тело движется, но угол между направлениями силы и перемещения равен 90°, работа силы также равная нулю.

В зависимости от величины угла между векторами перемещения и силы, работа силы может быть положительной и отрицательной.

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/ed4e2f5f-3b48-2c99-6778-1f9c9a01e7c7/00149789352614286.htm