1.4. Работа в электрическом поле. Потенциал

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении   равна (рис. 1.4.1): 

Рисунок 1.4.1. Работа электрических сил при малом перемещении  заряда q

Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле

Электростатическое поле обладает важным свойством:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными.

На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение   Работа ΔAкулоновских сил на этом перемещении равна 

Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r₁ до r = r₂, то можно получить 

Рисунок 1.4.2. Работа кулоновских сил при перемещении заряда qзависит только от расстояний r1 и r2 начальной и конечной точек траектории

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.

Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов   то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ   кулоновских полей точечных зарядов:   Так как каждый член суммы   не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q, помещенного в эту точку, принимается равной нулю.

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A₁₀, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):

Wp1 = A10.

(В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как буквой E обозначают напряженность поля.)

Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2.

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда.

Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.

Работа A₁₂ по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ₁ – φ₂) начальной и конечной точек: 

A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2).

В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В). 

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал φ_∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом: 

Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при r ≥ R, где R – радиус шара.

Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

Рисунок 1.4.3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Если пробный заряд q совершил малое перемещение   вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать: 

ΔA12 = qEΔl = q(φ1 – φ2) = – qΔφ,

где Δφ = φ₁ – φ₂ – изменение потенциала. Отсюда следует 

Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов: 

φ = φ1 + φ2 + φ3 + ...
Работа сил электростатического поля

 

Точечный заряд q₀ перемещается в поле заряда q вдоль произвольной траектории. Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2 (рис. 1.14):

(1.14)

Рис. 1.14. Работа в электрическом поле

Полученный результат означает, что работа в электростатическом поле не зависит от траектории движения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными. Тоже и для поля любой системы неподвижных зарядов.

 

Работа перемещения заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому контуру L, согласно (1.14)

(1.15)

1.4.2. Потенциал электростатического поля

 

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, поэтому работу по перемещению заряда в электрическом поле можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой обладает заряд q₀ в точке 1 и 2 поля заряда q:

(1.16)

Потенциальная энергия заряда q₀, находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

(1.17)

Значение С выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия была бы равна нулю.

Из (1.17) следует, что разные по величине пробные заряды будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией, однако отношение W_p/q_пр будет для всех зарядов одним и тем же, поэтому данную величину удобно использовать для описания поля в данной точке.

Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля:

(1.18)

 

Потенциал  определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, значение которой определяется разностью потенциалов в соседних точках поля.

Подставив в (1.18) значение W_p из (1.17), получим для потенциала точечного заряда выражение:

,

(1.19)

 

где r – расстояние от данной точки до заряда q, создающего поле.

Из формул (1.14) и (1.19) следует, что работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q₀ из точки 1 в точку 2:

(1.20)

где (₁ – ₂) – разность потенциалов двух точек 1 и 2 электростатического поля.

Из (1.20) следует, что  разность потенциалов – это работа, совершаемая силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Согласно  (1.20),  работа, которую надо совершить, чтобы перенести пробный заряд из  точки 1 в бесконечность ():

(1.21)

Потенциал – физическая величина, численно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность.

Единица измерения в СИ: 1 В = 1 Дж/Кл. Внесистемная единица энергии – электронвольт (эВ). Электронвольт – это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заряду электрона е = 1,60·10^–19 Кл, пробегая   в  вакууме разность потенциалов 1 В,  т.е. 1 эВ = 1,60·10^–19 Дж. В электронвольтах обычно выражают энергию различных элементарных частиц.

Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q₀ из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

.

(1.22)

 

Приравняв (1.20) и (1.22), получим

(1.23)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки.

1.4.3. Разность потенциалов и напряженность поля

 

Рис. 1.15. К соотношению между разностью потенциалов и напряженностью поля	Если известно распределение потенциала, т.е. его значение в каждой точке поля, то можно найти и напряженность этого поля в каждой точке. Пусть пробный заряд перемещается силами поля из точки 1 в точку 2 вдоль прямолинейного отрезка   (рис. 1.15). Если 1 и 2 – бесконечно близкие точки, то согласно (1.23):
		(1.24)
	т.е. проекция вектора напряженности на направление перемещения   равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению. Из (1.24), в частности,

(1.25)

Вектор  :

или

(1.26)

grad – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции;  ,  ,    – единичные векторы координатных осей x, y, z. Знак минус показывает, что вектор   направлен в сторону убывания потенциала.

1.4.4. Эквипотенциальные поверхности

 

Рис. 1.16. Эквипотенциальные линии (сплошные) и линии напряженности (пунктир) различных полей.

Поверхности, во всех точках которых потенциал  имеет одно и то же значение, называют эквипотенциальными. Используются для графического изображения распределения потенциала. Эквипотенциальные поверхности строят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Градиент потенциала направлен перпендикулярно этой поверхности в сторону возрастания потенциала. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен в каждой точке эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания  потенциала. На рис. 1.16 показаны картины электрических полей: пунктиром  – линии вектора напряженности, сплошными линиями – эквипотенциали.

1.4.5. Принцип суперпозиции для потенциала

Если электрическое поле создается системой неподвижных точечных зарядов q₁, q₂, … , то согласно принципу наложения электрических полей, результирующее поле равно сумме полей, создаваемых отдельными зарядами. Поэтому и потенциал этого поля равен сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами. Покажем это.

Следовательно, потенциал  системы неподвижных точечных зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами: 

,

(1.27)

где  – потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности, r_i – расстояние от точечного заряда q_i до интересующей точки поля.

Если заряды, образующие  систему распределены непрерывно по всему объему тела, то

,

(1.28)

где – объемная плотность заряда, r – расстояние от рассматриваемой точки поля до dV. Интегрирование производится по всему объему V.

Если заряды расположены только на поверхности тела, то

,

(1.29а)

где   – поверхностная плотность заряда; dS – элемент поверхности  тела, r – расстояние от рассматриваемой точки поля до dS. Интегрирование производится по всей поверхности S.

В случае линейного распределения зарядов:

,

(1.29б)

где  – линейная плотность заряда.