Конденсаторы

В различных областях электротехники часто требуются значительные электроемкости.

Ед инственным известным способом создать большую электроемкость это сделать такую конструкцию проводников в которой они будут сильно сближены друг с другом. При этом мы будем иметь дело с разностью потенциалов между двумя сближенными проводниками. При этом на этих проводниках будут накапливаться заряды противоположного знака. Такие устройства называются конденсаторами. Емкость конденсаторов определяется как

В этом выражении q-заряд одного знака одного из двух проводников u-разность потенциалов между проводниками конденсатора.

В отличие от названия емкости уединенного проводника (собственная емкость), емкость системы проводников называют взаимной емкостью.

В качестве примеров приведем расчет электрической емкости простейших конденсаторов.

1. Плоский конденсатор (расстояние между пластин – d, площадь пластин –S)

Р ис.2.2

2. Сферический конденсатор

Р ис.2.3

Ес ли расстояние между сферическими обкладками малоr₂-r₁<< r₁, то формула для нахождения емкости сферического конденсатора становится схожей с формулой для плоского конденсатора:

3. Цилиндрический конденсатор

Р ис.2.4

Создавая системы из таких простейших конденсаторов, соединяя их различными способами, возможно создавать устройства имеющие большую или меньшую электроемкость.

1. Параллельное соединение

Р ис.2.5

2. Последовательное соединение

Р ис.2.6.

Энергия системы точечных зарядов, энергия конденсатора, знергия электростатического поля

Для того чтобы собрать в одной точке заряд q необходимо совершить работу А=q. Таким образом заряд обладает энергией равной W= q.

Рассмотрим два заряда q₁ и q₂ (Рис.2.7.) энергия взаимодействия этих зарядов будет численно равна работе А₁₂ по перемещению q₁ в поле заряда q₂ от точки соприкосновения зарядов до точки своего расположения А₁₂= q₁ q₂/4₀r.

Р ис.2.7.

Тоже можно сказать про заряд q₂. А₂₁= q₂q₁ /4₀r. Видно, что А₁₂= А₂₁. Но q₂/4₀r=U_2 1 - является разностью потенциалов между точками нахождения заряда 1 и заряда 2 в поле заряда 2, аq₁/4₀r = U₁₂ - является разностью потенциалов между точками нахождения заряда 2 и заряда 1 в поле заряда 1. Таким образом, энергия системы этих двух зарядов будет либо равна А₂₁ либо А₁₂.

Та ким образом можно записатьW= q₂ U₂₁= q₁ U₁₂ или для общности можно записать W= ( q₁ U₁₂+ q₂ U₂₁)/2. Тогда энергию произвольной системы зарядов можно записать в виде:

При непрерывном распределении зарядов:

Э нергия заряженного проводника, конденсатора

Пу сть имеется заряженное проводящее тело имеющее емкостьс и заряд q. При добавлении заряда dq его потенциальная энергия возрастет на dW. При этом будет выполняться равенство.

Уч итывая, чтоU=q/c , подставляя это в наше равенство и интегрируя его получим выражение для потенциальной энергии проводника

Так как константа выбирается произвольной ее можно положить равной нулю.

Таким образом W=q²/2c или помня, что q=cU получим, что W=cU²/2 .

Энергия электрического поля

Таким образом, электрический конденсатор обладает энергией. Естетвенно поставить вопрос: Где содержится накопленная конденсатором энергия?

Рассмотрим плоский конденсатор, его электроемкость выражается формулой c= ₀S/d. Тогда энергия накопленная в нем может быть представлена как: W=cU²/2 = (₀S/d ) U²/2. Помня, что в плоском конденсаторе U=Ed , а Sd=V (V-объем пространства между пластинами или это - объем электрического поля) получим:

W= (₀E²/2)V .

Таким образом, мы имеем два выражения определяющие энергию конденсатора

W=cU²/2 и W= (₀E²/2)V.

Первое выражение указывает на то , что энергия накапливается зарядами, второе выражение показывает , что за этот процесс ответственно электрическое поле. С позиций электростатики этот вопрос неразрешим, так как электростатическое поле и заряды неразрывно связаны. Однако в дальнейшем будет показано, что переменные электрические поля могут порождаться и существовать независимо и отдельно от электрических зарядов. Этот факт указывает на то, что электрические поля содержат ту энергию, которая накапливается электрическими конденсаторами. На практике для характеристики энергии электрического поля удобно пользоваться выражением для плотности энергии электрического поля: w= ₀E²/2 , подставив в эту формулу выражение для индукции электрического поля получим

Т а к как вектора индукции и напряженности электрического поля соноправлены то это выражение можно записать в виде

По дставляя значение вектора электрической индукции в среде, выраженной через вектор поляризации среды

По лучим:

Таким образом , если электрическое поле находится в диэлектрической среде, то его энергия складывается из энергии поля в вакууме и энергии идущей на поляризацию диэлектрика.

Электроемкость. Конденсаторы. Энергия электрического поля

Если взять уединенное проводящее тело и сообщить ему электрический заряд, то тело приобретет некоторый потенциал. Меняя заряд, можно менять и потенциал, но отношение заряда к потенциалу будет оставаться величиной постоянной. Для других тел это отношение тоже будет постоянно, но будет иметь другие значения. Таким образом, это отношение будет являться электрической характеристикой тела. Его называют электроемкостью этого тела.

Емкость уединенного тела зависит от его размеров. Для проводящей сферы емкость подсчитывается по формуле:

где R - радиус сферы. Если считать Землю проводящим телом, то ее емкость будет всего лишь около 700 мкф. Приближая к данному телу другое тело, емкость системы можно значительно увеличить. Наибольшей емкостью может обладать система электрическим конденсатором. Тела, составляющие систему, обладают одинаковым по модулю, но противоположным по знаку зарядом. Силовые линии, начинающиеся на одном из этих тел, заканчиваются на другом. Эти тела называются обкладками конденсатора. В зависимости от формы обкладок плоские конденсаторы (обкладки- параллельные плоскости), сферические (обкладки - две сферы с общим центром, вложенные одна в другую), трубчатые или цилиндрические (обкладки - два цилиндра разного радиуса с общей осью) и т.д.

При заполнении пространства между обкладками диэлектриком емкость конденсатора возрастает в раз. - диэлектрическая проницаемость вещества. Формула для подсчета емкости плоского конденсатора имеет вид

S - площадь обкладок, d - расстояние между ними.

Конденсаторы можно соединять в батареи. При параллельном соединении емкость батареи С равна сумме емкостей конденсаторов:

.

Разности потенциалов между обкладками одинаковы, а заряды прямо пропорциональны емкостям:

При последовательном соединении величина, обратная емкости батареи, равна сумме обратных емкостей, входящих в батарею:

Заряды на конденсаторах одинаковы, а разности потенциалов обратно пропорциональны емкостям:

Заряженный конденсатор обладает энергией. Энергию заряженного конденсатора можно подсчитать по любой из следующих формул

Поскольку электрическое поле в конденсаторе расположено между его обкладками, то энергия конденсатора является энергией этого поля. Для плоского конденсатора ее можно подсчитать:

Е- напряженность электрического поля; V - объем конденсатора. Это соотношение позволяет подсчитать энергию, приходящуюся на единицу объема поля - объемную плотность энергиии электрического поля (w).

Электроемкость. Конденсаторы. Энергия электростатического поля.

Электроемкостью (емкостью) C уединенного изолированного проводника называется физическая величина, равная отношению изменения заряда проводника q к изменению его потенциала f: C = Dq/Df. Электроемкость уединенного проводника зависит только от его формы и размеров, а также от окружающей его диэлектрической среды (e). Единица измерения емкости в системе СИ называется Фарадой. Фарада (Ф) - это емкость такого уединенного проводника, потенциал которого повышается на 1 Вольт при сообщении ему заряда в 1 Кулон. 1 Ф = 1 Кл/1 В. Конденсатором называют систему двух разноименно заряженных проводников, разделенных диэлектриком (например, воздухом). Свойство конденсаторов накапливать и сохранять электрические заряды и связанное с ними электрическое поле характеризуется величиной, называемой электроемкостью конденсатора. Электроемкость конденсатора равна отношению заряда одной из пластин Q к напряжению между ними U: C = Q/U. В зависимости от формы обкладок, конденсаторы бывают плоскими, сферическими и цилиндрическими. Соединение конденсаторов в батареи. На практике конденсаторы часто соединяют в батареи - последовательно или параллельно. При параллельном соединении напряжение на всех обкладках одинаковое U1 = U2 = U3 = U = e, а емкость батареи равняется сумме емкостей отдельных конденсаторов C = C1 + C2 + C3.   При последовательном соединении заряд на обкладках всех конденсаторов одинаков Q1 = Q2 = Q3, а напряжение батареи равняется сумме напряжений отдельных конденсаторов U = U1 + U2 + U3. Емкость всей системы последовательно соединенных конденсаторов рассчитывается из соотношения: 1/C = U/Q = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3. Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов всегда меньше, чем емкость каждого из этих конденсаторов в отдельности. Энергия электростатического поля. Энергия заряженного плоского конденсатора Eк равна работе A, которая была затрачена при его зарядке, или совершается при его разрядке. A = CU2/2 = Q2/2С = QU/2 = Eк. Поскольку напряжение на конденсаторе может быть рассчитано из соотношения: U = E*d, где E - напряженность поля между обкладками конденсатора, d - расстояние между пластинами конденсатора, то энергия заряженного конденсатора равна: Eк = CU2/2 = ee0S/2d*E2*d2 = ee0S*d*E2/2 = ee0V*E2/2, где V - объем пространства между обкладками конденсатора. Энергия заряженного конденсатора сосредоточена в его электрическом поле.