Потенциальные силы. Потенциальная энергия. Связь силы с потенциальной энергией. Понятие градиента скалярной функции.

Потенциальные силы. Потенциальная энергия. Связь силы с потенциальной энергией. Понятие градиента скалярной функции.

Градиент— вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на .Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между силой и U должна быть связь , с другой стороны, dA = –dU, следовательно , отсюда

Вектор силы можно записать через проекции:

F=-gradU где

Следовательно, вектор направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

Потенциальная энергия системы во внешнем поле. Предположим, что механическая система, состоящая из n частиц, находится во внешнем потенциальном поле. Определим работу, которую совершают внешние консервативные силы на перемещение механической системы за элементарный промежуток времени. Как убедились, любая частица в потенциальном поле наделœена потенциальной энергией. Обозначим потенциальные энергии частиц механической системы как , где радиус-векторы, характеризующие положения частиц. Покажем, что потенциальная энергия системы во внешнем потенциальном поле есть сумма потенциальных энергий составляющих систему частиц: Пусть частицы системы за элементарный промежуток времени dt совершили перемещения . Согласно результату, полученному выше, работа сил поля на перемещение любой частицы равна убыли потенциальной энергии этой частицы: Суммируя эти элементарные работы, получим полную работу внешних консервативных сил на перемещение системы за время dt: . Это доказывает утверждение (6.34): работа внешних консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы в силовом поле:

Градиент скалярной функции - ϶ᴛᴏ вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания скалярной функции и по абсолютному значению равный наибольшей скорости возрастания этой функции.

Градиент направлен по нормали к поверхности равного уровня скалярной функции в данной точке. Градиент скалярного потенциала φ постоянного во времени поля равен:

где – нормаль к эквипотенциальной поверхности в данной точке поля.

Градиент скалярного потенциала φ в каждой точке совпадает с касательной к силовой линии напряженности электрического поля в данной точке и имеет направление, противоположное вектору

Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в полеконсервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении. Термин ʼʼпотенциальная энергияʼʼ был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль.

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где — масса тела, — ускорение свободного падения, — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

ЭНЕРГИЯ. РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ. ТЕОРЕМА КЕНИГА

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ

Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему частиц, которые сохраняют при движении постоянные значения. Эти функции называются интегралами движения.

Для системы из частиц, между которыми нет жестких связей, можно образовать интегралов движения. Однако интерес представляют только те из них, которые обладают свойством аддитивности. Это свойство заключается в том, что значение интегралов движения для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Аддитивными интегралами движения являются энергия, импульс и момент импульса.

Энергия. Работа и кинетическая энергия. Теорема кенига

Энергия является количественной мерой различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий. Движение – неотъемлемое свойство материи. Поэтому любое тело, любая система тел и полей обладают энергией. Энергия характеризует возможные изменения движения системы. Эти изменения происходят вследствие взаимодействия между частями системы, а также между системой и внешней средой. Для различных форм движения и соответствующих им взаимодействий в физике вводят различные виды энергии – механическую, внутреннюю, электрическую и т.д. В механике различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией механической системы называется энергия механического движения этой системы.

Изменение механического движения системы происходит только под действием приложенной к ней силы. Поэтому для отыскания вида функции кинетической энергии воспользуемся вторым законом Ньютона.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы (материальной точки). Уравнение движения частицы умножим на перемещение получаем

. (4.1)

Здесь - приращение скорости частицы за время . Левую часть выражения (4.1) приведем к виду:

(4.2)

Тогда имеем:

Если система замкнута, то , и , а сама величина

(4.3)

остается постоянной. Эта величина и называется кинетической энергией. В случае изолированной частицы кинетическая энергия сохраняется и является интегралом движения.

Умножив на массу частицы числитель и знаменатель выражения (4.3) и воспользовавшись определением импульса, получаем:

Кинетическая энергия механической системы, состоящей из частиц, равна сумме кинетических энергий отдельных частиц:

.

Если на частицу действует сила , кинетическая энергия не остается постоянной. Согласно (4.2), приращение кинетической энергии частицы за время в этом случае равно скалярному произведению - перемещение частицы за время ). Величина называется работой, совершаемой силой на пути , где - модуль перемещения .

Проинтегрировав выражение (4.2) вдоль траектории от точки 1 до точки 2, получаем:

.

Величина (4.4)

есть работа силы на пути . Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии этой частицы:

. (4.5)

Формула (4.3) для кинетической энергии частицы справедлива как в инерциальной, так и в неинерциальной системе отсчета. При переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой с некоторой скоростью , скорость частицы меняется, следовательно, меняется и кинетическая энергия.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную и систему отсчета , движущуюся относительно поступательно со скоростью . Скорость может быть как постоянной (тогда система инерциальная), так и зависящей от времени ( в этом случае система неинерциальная). Из рисунка 4.1 видно, что радиус-векторы -той материальной точки в системах отсчета и связаны соотношением:

,

где - радиус-вектор в системе точки (начала отсчета координат в системе ). Продифференцировав это выражение по времени, получаем для скоростей:

.

Возведем это равенство в квадрат: .

Подставим значение в формулу кинетической энергии механической системы, получаем кинетическую энергию относительно системы :

,

или . Здесь - масса всей системы, - импульс механической системы в , - кинетическая энергия системы в .

Очевидно, , где - скорость центра масс системы в . Поэтому, если в качестве взять систему центра масс механической системы, то и

.

Это теорема Кенига: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в ее движении относительно центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью центра масс.

Выражение (4.4) можно представить в виде: где - угол между направлениями силы и перемещения. Если этот угол острый ( ), работа положительна, если - тупой ( ), работа отрицательна. При работа равна нулю.

На рис.4.2 представлен график проекции силы на направление перемещения как функции положения частицы на траектории. Из рисунка видно, что элементарная работа численно равна площади заштрихованной полоски, а работа на пути 1-2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой , вертикальными прямыми 1 и 2 и осью S.

Пусть на тело действует одновременно несколько сил . Из дистрибутивности скалярного произведения векторов вытекает, что работа , совершаемая результирующей силой на пути , может быть представлена в виде:

- работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Очевидно, элементарное перемещение , поэтому выражение для элементарной работы (4.4) принимает вид:

Тогда работа, совершаемая за промежуток времени от до , будет равна

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью: .

Проинтегрировав выражение (4.2) вдоль траектории от точки 1 до точки 2, получаем: Величина

есть работа силы на пути . Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии этой частицы: