Квазиупругие силы. Уравнение движения для одномерного гармонического осциллятора. Уравнение гармонического колебания и его характеристики (амплитуда, частота, период, фаза).

Гармонические колебания. Квазиупругие силы. Свободные колебания линейного гармонического осциллятора в отсутствии и при наличии сил трения.

Колебательным движением материальной точки называется периодическое смещение материальной точки от положения равновесия, либо, в общем случае, – периодически повторяющиеся движения. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания величины x описываются уравнением типа: ( ),

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания,  –круговая (циклическая) частота,  – начальная фаза колебания в момент времени t = 0,  –фаза колебания в момент времени t, х – смещение в момент времени t. Промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение равное 2p, называется периодом колебания.  , откуда . Величина, обратная периоду колебаний,n=1/T – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.  =2pn. Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Квазиупругая сила, направленная к центру О сила F, величина которой пропорциональна расстоянию r от центра О до точки приложения силы; численно F = cr, где с — постоянный коэффициент. Название «К. с.» связано с тем, что аналогичным свойством обладают силы, возникающие при малых деформациях упругих тел (так называемые силы упругости). Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет совершать около О линейные гармонические колебания или описывать эллипс (в частности, окружность).

а) Уравнение гармонического осциллятора.

Гармоническое колебание описывается периодическим законом:  . Здесь   - характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.). Система, закон движения которой имеет вид  , называется одномерным гармоническим осциллятором. Дифференцируя дважды по времени уравнение  , получаем соотношение:  , называемое уравнением одномерного классического гармонического осциллятора с частотой . Это дифференциальное уравнение имеет второй порядок, поэтому у него есть два независимых решения. Одно из них -  , другим независимым решением является . Общее решение уравнения можно записать как линейную комбинацию независимых решений:

.

Часто полагают, что C₁=1, C₂=-i. Тогда в соответствии с формулой Эйлера ( ) выражение может быть записано в виде

.

Такой комплексной формой записи закона гармонического колебания широко пользуются. Это связано с удобством работы с экспоненциальной функцией. Так как наблюдаемые значения каждой физической величины вещественны, то наблюдаемый закон гармонических колебаний может быть получен из последнего соотношения взятием вещественной части от величины z(t), которая называется комплексным вектором колебаний: .

б) Затухание свободных колебаний.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

,

где   - коэффициент затухания,   - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника   где r - коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре:  , где R - величина активного сопротивления контура, L - индуктивность. Для решения уравнения производится подстановка  . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению: 

которое имеет два корня:   ,  .

При не слишком большом затухании (при  ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде  , где   - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная  , то корни уравнения запишутся в виде:   и  . Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:

ко торую можно представить в виде:  ,

Здесь   и   - произвольные постоянные.

В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону:

.

С

Рис. Затухающие колебания

корость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания  . В соответствии с выражением коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e-раз. Период затухающих колебаний определяется формулой:  _.При незначительном затухании ( ) период колебаний практически равен  . С ростом   период увеличивается. Из соотношения   следует, что:  . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

. Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина  , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда   энергия изменяется по закону:  , где   - значение энергии в начальный момент. Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

С ростом g период колебаний увеличивается. При   период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При   выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.

Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.  Свободными, или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. (ПРИМЕРЫ  )  Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса иликосинуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

 ,  где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия);   - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса   - называется фазой колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A. Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний. Период гармонических колебаний равен: T = 2π/   . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебанийν. Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду. Круговая частота   = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм)(рис.1.1.Б).(ПРИМЕР  )

Рисунок 1.1. Графическое изображение гармонических колебаний

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды Арасположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью   , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:  .  Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

ЛЕКЦИЯ №5 ТЕМА «МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ» План лекции

ТЕМА: «МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ»

План лекции:

1. Колебательное движение. Гармоническое колебание.

2. Скорость и ускорение гармонического колебания.

3. Энергия гармонического колебательного движения.

4. Свободные колебания. Гармонический осциллятор.

5. Пружинный, математический и физический маятники.

6. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

7. Примеры проявления резонансных явлений в живых организмах.

1. Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1. Колебательное движение. Гармоническое колебание. Вывод уравнения гармонического колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Колебаниями называется процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качели, ветка дерева, фазы луны, морские приливы и отливы, пульсовая волна, сердце, гортань…). В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Колебания широко распространены в природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе таких отраслей техники как электротехника, радиотехника и.т.д).

Во многих случаях колебания играют негативную роль (вибрации крыльев самолёта, корпусов судов, зданий и сооружений из за резонанса с работающим там оборудованием), что необходимо учитывать при их изготовлении.

В зависимости от физической природы колебания бывают механические и электромагнитные. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему, различают: свободные, (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

1. Свободные колебания, совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. (Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.).

2. Вынужденные - система подвергается воздействию внешней, периодически изменяющийся силы (колебание моста при прохождении солдат, идущих в ногу).

3. Автоколебания - система сама управляет внешним воздействием (маятник часов получает толчки в момент прохождения её через среднее положение).

4. Параметрические колебания - происходит периодическое изменение какого- либо параметра системы за счет внешнего воздействия (например длины нити математического маятника).

Простейшими являются гармонические колебания – происходящие по закону sin и cos.

Этот вид колебаний важен по двум причинам:

1. колебания в природе и технике часто близки к гармоническому.

2. иные периодические процессы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Выведем уравнение гармонического колебания при помощи установки, состоящей из экрана и вращающегося диска с закреплённым на нём непрозрачным шариком.

А   w

M

x  x А

 свет

О  o

- А

Пусть материальная точка М движется против часовой стрелки по окружности радиусом А. Тогда её проекция на экране совершает периодические колебания около положения равновесия в пределах от А до -А .

Выразим величину смещения xв любой момент времени:

 - уравнение гармонического колебания.

Так как диск вращается с угловой скоростью w, то  . Подставим значение   в уравнение гармонического колебания:

 - уравнение гармонического колебания.

Если диск совершает полный оборот  ; 

Основные характеристики гармонического колебания:

1x- смещение- отклонение от положения равновесия в данный момент времени (может быть >0 и <0)/

2A – амплитуда - максимальное отклонение от положения равновесия.

3T- период - совершения одного полного колебания.

4wt- фаза колебания - характеризует состояние колебательной системы в любой заданный момент времени.

5v- частота- число колебаний в единицу времени.

Если к началу наблюдения фаза имела некоторое начальное значение  , то уравнение запишется:

- гармоническое колебание с начальной фазой.