2. Фононы

В части перехода к нормальным координатам кванто­вая механика не расходится с классической. И в квантовой те­ории переход к переменным нормальным координатам позволяет представить решет­ку как совокупность гармонических осцилляторов.  Квантовое состояние решетки задается набором 3Np кванто­вых чисел ν_qB. Ее энергия, если отбросить энергию нулевых ко­лебаний всех осцилляторов, равна

Точно такое же выражение для энергии мы получим, если рассмотрим идеальный газ, состоящий из частиц, характери­зующихся волновым вектором q, энергией   и законом дисперсии ω_s(q). При этом числа V- задают количество частиц, находящихся в квантовом состоянии (q; s). В данном случае фи­зический смысл квантовой характеристики q заключается в том, что эта величина определяет квазиимпульс р, который ра­вен hq.

Представление о таком идеальном газе очень удобно: с его по­мощью можно наиболее просто и наглядно выразить то обсто­ятельство, что энергия решетки изменяется не произвольно, а только порциями, по величине равными hω_s(q). Частицы этого газа получили название фононов.

Таким образом, в квантовой теории существуют два эквива­лентных подхода, два языка, одинаково хорошо описывающих движение атомов решетки.

●      С одной стороны, мы имеем набор гармонических осцилляторов, частоты которых суть частоты нормальных колебаний решетки. Осцилляторы нумеруются значениями вектора q и квантового числа s. Осциллятор, воз­бужденный до квантового состояния v_q, описывает коллектив­ное движение с определенной энергией  - и квазиим­пульсом р.

●    С другой стороны, это же квантовое число v_q трак­тетуется как число фононов, имеющих энергию   и квазиимпульс hq.

Число фоноррв в каждом из возможных квантовых состоя­ний может быть любым. Это означает, что фононы являются бо­зонами. Им приписывается нулевой спин. Прямая аналогия с фотонным газом позволяет записать функцию статистическо­го распределения фононов По квантовым состояниям в услови­ях термодинамического равновесия как для бозе-газа:

Здесь v_q — среднее число частиц, приходящихся на одно квантовое состояние.

Представление о фононном газе очень удобно и полезно при изучении внешних воздействий на решетку, при расчетах взаи­модействий электронов с колебаниями решетки и при исследо­вании многих других сложных процессов, которые таким обра­зом сводятся к элементарным актам столкновений фононов с другими частицами или друг с другом.

При столкновениях выполняются законы сохранения энер­гии (ξ) и квазиимпульса (р), но число фононов может изменять­ся. Поэтому столкновение электрона и фонона может привести к появлению фонона нового сорта или просто к исчезновению прежнего. Этим процессам отвечают равенства, вытекающие из законов сохранения:

Число возможных каналов реакции с фононами расширяет­ся за счет процессов переброса. Так называются столкновения, в которых фонон получает квазиимпульс (или волновой век­тор), выходящий за пределы первой зоны Бриллюэна. Все зна­чения квазиимпульса могут быть «приведены» в зону Бриллю­эна путем вычитания некоторого вектора обратной решетки. Поэтому формально получается реакция с нарушением закона сохранения квазиимпульса.

Для изучения акустических колебаний решетки или, что то же самое, фононов с малым волновым числом исследуются звуковые волны в кристалле. Поглощение света нагревает образец. Оно особенно интен­сивно, когда частота света ω удовлетворяет условию Бора

где h*ω=∆E — разность соседних колебательных уровней. На фононном языке здесь имеет место превращение фотона в фонон той же энергии (частоты) и с тем же импульсом.

Наиболее богатую информацию о колебаниях решетки дает неупругое рассеяние нейтронов на кристалле. Пролетая через образец, нейтрон взаимодействует с ядрами и, передавая им часть энергии, «раскачивает» колебания. Это означает, что нейтрон порождает фононы. В одном акте взаимодействия из­менение импульса и энергии нейтрона равно:

Отсюда видно, что неупругое рассеяние нейтронов позволяет непосредственно изучать закон дисперсии квазиимпульса у фо­нонов.

Фонон есть представитель особого мира физических объек­тов, так называемых квазичастиц. Практически всякому виду коллективного движения в кристалле можно сопоставить опре­деленный сорт квазичастиц. Для этого необходимо выделить подсистему, в которой проявляется данный вид движения, и ввести нормальные координаты, в которых обособляются друг от друга различные степени свободы подсистемы. Дальше вво­дится в действие стандартный математический аппарат, родст­венный тому, который используется в квантовой теории поля.