28.3. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: ψ(χ, у, z, t).

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т.е. не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой - от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Выделим в пространстве достаточно малый объем dV = dxdjdz, в пределах которого значения ψ-функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dW_B частицы в этом объеме пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля ψ-функции:

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, т.е. отношению вероятности нахождения частицы в объеме к этому объему.

Интегрируя выражение (28.6) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

28.4. Соотношения неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δχ и Δр_х.

¹ Реально осуществить такой опыт невозможно, так как размеры щели должны быть порядка атомов, поэтому описывается некоторый мысленный эксперимент.

шение (28.11) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е₁, Е₂ и т.д. имеют некоторую ширину (рис. 28.6), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии АЕ излучаемого фотона и его частоты Ау при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Так как состояние микрочастицы описывают ψ-функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Э. Шредингером (1926). Такое уравнение в квантовой механике постулируется так же, как в классической механике постулируется второй закон Ньютона.

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредин-гера может быть записано так:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

28.5. Уравнение шредингера. Электрон в потенциальной яме

где m - масса частицы; Е и Е_п - ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени).

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси Х (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид:

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

Пусть электрон перемещается вдоль оси Х только в пределах 0 < х < l (рис. 28.7). Это означает, что в указанном интервале ψ-функция отлична от нуля, а вне интервала (х <0, х >l) равна нулю.

Так как на частицу в выделенном интервале силовые поля не действуют, то ее потенциальная энергия может иметь любое постоянное значение (наиболее удобно принять Е_п = 0). Вне этого интервала электрона нет, поэтому следует считать его потенциальную энергию бесконечно большой. На рис. 28.7 показана графическая зависимость Е_п = Дх). Интервал 0 < х < l, удовлетворяющий сформулированным выше условиям, называют одномерной прямоугольной потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками. С учетом Е_п = 0 уравнение Шредингера (28.14) для интервала 0 < х < l имеет вид:

Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонического колебания (см. 7.1), решение которого:

Прежде всего примечательно, что решение уравнения Шрединге-ра для электрона в потенциальной яме без каких-либо дополнительных постулатов приводит к дискретным, квантованным значениям энергии:

Из (28.21) видно, что при некотором фиксированном значении n дискретность, т.е. различие энергий соседних уровней, тем меньше, чем больше размеры потенциальной ямы. Так, например, рассчитаем два случая при n = 1:

1) l = 5 ? 10^-10 м, что примерно соответствует размерам атома; тогда ΔΕ = 4,5 эВ. Это по порядку величины совпадает со значениями, полученными для атома водорода по теории Бора;

2) l = 10^-1 м, что фактически соответствует такой ширине потенциальной ямы, что электрон можно считать свободным; при этом ΔΕ = 1,1 ? 10^-16 эВ. Здесь дискретность ничтожна и практически можно считать, что энергия электрона изменяется непрерывно.

Возведя (28.20) в квадрат, получим плотность вероятности |ψ|² нахождения электрона в разных точках потенциальной ямы. На рис. 28.9 показана графическая зависимость |ψ|² от χ при разных дискретных состояниях, т.е. разных квантовых числах. Как видно из рисунка, электрон может с разной вероятностью находиться в различных местах потенциальной ямы. Есть такие точки, в которых вероятность нахождения электрона вообще равна нулю. Это существенно отличается от представлений классической физики, согласно которым равновероятно нахождение частицы в разных местах потенциальной ямы (рис. 28.10) и невозможно разделение ямы точками, в которых исключено нахождение частицы.

Уравнение Шредингера можно применить и к более сложным силовым полям, например к электрону в атоме. Это приведет к дополнительным математическим трудностям, но не изменит основных особенностей

атомных систем: дискретности энергетических состояний, вероятностных суждений о нахождении электрона, своеобразной зависимости |ψ|² от координат и т.д.