Задача 3.

, число, ;

+

, число, ;

+=

, учтем, что и .

=

2) .

В этом примере надо вычислить производную сложной функции. Она представляет собой произведение производных функций,

;

из которых составлена заданная функция.

.

3)

Здесь требуется найти производную функции, заданной параметрически.

Если записать производную в дифференциальном виде: то можно найти ее как частное дифференциалов. Найдем дифференциалы и , как функций переменной .

; .

После сокращения на получаем производную.

4)

Найти дифференциал функции при данном значении х.

;

Дифференциал функции вычисляется по формуле: .

=

Подставим в полученное выражение заданное значение .

.

Окончательно: при .

1)

Определим вид неопределенного выражения. Правило Лопиталя можно применять при неопределенностях вида .

После вычисления производных неопределенное выражение сохранилось.

=

Применим правило еще раз. Неопределенность раскрыта, получен ответ.

2) =

Приведение к общему знаменателю позволяет получить неопределенное выражение, которое можно раскрывать с помощью правила Лопиталя.

=;

Перед вычислением производных учтем, что при , и .

=.

Здесь вместо повторного применения правила Лопиталя произведена замена эквивалентными бесконечно малыми величинами.

Задача 5.

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график

.

Решение.

1

Область

допустимых значений (, ОДЗ)

Знаменатель функции обращается в нуль в точке . ОДЗ данной функции .

2

Нули функции и точки пересечения с осью .

График пересечет ось ординат при значении абсциссы , , поэтому график функции проходит через начало координат: .

3

Четная,

нечетная, общего вида

, значит данная функция является функцией общего вида.

4

Исследование точек разрыва и поведения функции на границах ОДЗ

Исследуем вид разрыва в точке .

В точке имеется разрыв 2-го рода и вертикальная асимптота функции .

5

Наклонные и горизонтальные асимптоты функции

, где и .

;

. Данная функция имеет горизонтальную асимптоту .

6

Точки возможных экстремумов - критические точки

; ; преобразованное выражение производной: . Критические точки:

при и

при (точка разрыва).

7

Интервалы возрастания / убывания (монотонности).

Обозначения:  - возрастает,  - убывает

Критическая точка и точка разрыва разделяют интервалы монотонности функции. Определим знаки первой производной на каждом интервале.

8

Экстремумы (/ )

Теперь можно сделать заключение об экстремуме функции в точке . При переходе через эту точку первая производная меняет знак, убывание функции сменяет возрастание, поэтому это точка минимума функции: .

В точке не существует экстремума, так как это точка разрыва второго рода.

9

Точки

возможного перегиба

графика функции

Найдем точки возможного перегиба графика функции: при и

(точка разрыва).

10

Интервалы выпуклости / вогнутости. Обозначения:  - вогнута,  - выпукла

Две найденные точки разделяют интервалы выпуклости / вогнутости функции. Определим знаки второй производной на каждом интервале.

11

Точки

перегиба

Теперь можно сделать заключение о точке перегиба функции. При переходе через точку вторая производная меняет знак, выпуклость функции меняется на вогнутость, поэтому это точка перегиба функции: .