Часть 2 Пределы и непрерывность функции одной переменной. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задача 1.

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Решение.

1)Вычисление предела отношения многочленов при ,

где многочлены степени и , .

В этом случае пользуются тем, что бесконечно большая величина эквивалентна своей главной части, то есть многочлен будет эквивалентен слагаемому с переменной в наибольшей степени. Поэтому

=	Выделение главной части многочленов, стоящих в числителе и знаменателе приводит к раскрытию неопределенности.

2)
	Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в числителе: , и представим его в виде произведения. Знаменатель представим как сумму кубов
=	Сократим на множитель .
= 3)	Выражение под знаком предела не содержит неопределенности.
	Для выделения множителя умножим и разделим дробь на выражения, сопряженные числителю и знаменателю.
=
Множитель , множитель . По свойствам пределов эти постоянные множители можно вынести за знак предела.
= 4)		После сокращения на получаем ответ.
		В этом примере выражение, стоящее в числителе, нельзя заменить эквивалентной бесконечно малой величиной.
=		Для получения табличной эквивалентности можно вынести за скобки .
=		Теперь замена эквивалентными бесконечно малыми приведена в прямых скобках. По свойствам логарифмов: .
= 5)		После сокращения на неопределенность раскрыта.
		Прибавим и вычтем единицу в основании данной функции (выражение в скобках), таким образом, она будет выделена.
=		Два последних слагаемых приведем к общему знаменателю.
=		Очевидно, величина , то есть является бесконечно малой. Выделим главные части многочленов при : .
= 6)		Теперь предел приведен к виду второго замечательного предела, в котором .
=		Выделим единицу в основании и используем эквивалентность бесконечно малых величин.
==
==	Можно ввести новую переменную, чтобы показать, что предел приведен к виду второго замечательного предела. Здесь .