4.3 Перетворення випадкових сигналів у нелінійних каналах з постійними параметрами

Обмеживши розгляд нелінійних перетворень моделлю , помітимо, що перетворення, як правило, однозначне, що не завжди можна сказати про зворотне перетворення(наприклад, коло із квадратичною характеристикою).

При нелінійних перетвореннях виникає трансформація (зміна) спектра вхідного впливу. Так, якщо на вхід нелінійної системи діє суміш регулярного сигналу й адитивного шуму у вузькій смузі частот, що згрупувалася біля середньої частоти, то в загальному випадку на виході будуть присутні складові комбінаційних частот трьох видів, що згрупуються біля частот: продукти взаємодії складових вхідного сигналу між собою (с × с), продукти взаємодії складових вхідного шуму (ш × ш); продукти взаємодії сигналу і шуму (с × ш). Розділити їх на виході системи, як правило, неможливо.

Якщо відома характеристика нелінійної системи і двовимірна функція розподілу вхідного впливу , то основні характеристики вихідного процесу (МО і ФК), у принципі, завжди можна визначити. Так, математичне очікування відгуку записується у вигляді, а його кореляційна функція в такому вигляді [46]:

.

Прямим перетворенням Вінера-Хінчина можна за ФК знайти і спектральну щільність потужності процесу .

Аналіз проходження випадкових впливів через нелінійні кола сильно спрощується для вузькосмугових впливів, якщо скористатися їхнім квазігармонічним представленням.

4.4 Проходження сигналів через канали зв'язку з випадковими параметрами

Крім розглянутих детермінованих перетворень сигналу в окремих ланках каналу (зокрема, у лінії зв'язку або середовищі розповсюдження хвилі) мають місце і випадкові перетворення сигналу. У найпростішому випадку це перетворення зводиться до складання сигналу з незалежним від нього випадковим процесом, який називають адитивною завадою або адитивним шумом. У більш складних каналах до цього додаються випадкові зміни параметрів каналу, у результаті яких навіть під час відсутності адитивних завад прийнятий сигнал не визначається однозначно переданим.

Розглянемо характерні перетворення сигналу в лінійних каналах (колах) з випадковими параметрами.

У самому загальному вигляді лінійну систему (або лінійний канал) можна описати випадковою ІХ що є випадковою функцією двох аргументів:(моменту спостереження реакції) і(часу, що пройшов з моменту подачі-імпульса на вхід кола).

Лінійний канал, параметри якого підпадають під дію випадкових зовнішніх впливів (температури, тиску, вологості), можна характеризувати також випадковою передатною функцією змінних і

. (4.3)

Можна показати [15], що функція кореляції процесу на виході каналу з характеристикою (4.3) при подачі на вхід стаціонарного процесувизначається виразом

, (4.4)

де - системна характеристика каналу. Для каналу з постійними параметрами маємо, і з (4.4) випливає (4.2).

Зупинимося докладніше на моделях каналів, з якими найчастіше доводиться зустрічатися на практиці. Узагальнену модель для випадкового вхідного впливу , можна представити у виді

, (4.5)

де параметри – час затримки сигналу і (або) – коефіцієнт загасання сигналу флуктують у часі.

Як правило, такі флуктуації в проводових лініях зв'язку викликаються змінами зовнішніх умов і відбуваються надзвичайно повільно й у дуже невеликих відносних межах. Це значить, що за час тривалості відлікового інтервалу , де – ширина спектра сигналу, параметри каналу не встигають помітно змінюватися. У радіоканалах при багатопроменевому поширенні хвиль, у гідроакустичних і в деяких інших каналах флуктуації виражені більш помітно.

Якщо вхідний сигнал вузькосмуговий, його зручно представити в квазігармонічній формі: , деі– функції, що повільно змінюються. Тому при досить малій затримціможна в першому наближенні вважатиі, а вихідний сигнал (4.5) записати в такий спосіб:

(4.6)

де – фазовий зсув в каналі, а– процес, сполучений зпо Гільберту [44].

Таким чином, при вузькосмуговому сигналі мала затримка зводиться до деякого зсуву фази. Важливо відзначити, що навіть при дуже малих відносних флуктуаціях часу затримки фазовий зсув(через великі значення) може змінюватися в дуже великих межах. Для цього досить виконання умови, де– середньоквадратичне відхилення затримки,– середня частота спектра сигналу. Ця умова в радіоканалах звичайно виконується.

Більш складний випадок має місце, коли сигнал проходить паралельними шляхами від входу каналу до його виходу (рис. 4.1), так що на виході кожного шляху сигнал описується виразом (4.6), але значення ідля різних шляхів різні і до того ж у невеликих межах флуктують. Такого роду багатошляхове поширення сигналу характерне для більшості радіо-, гідроакустичних та деяких інших каналів (у тому числі проводових).

Електромагнітні хвилі поширюються, як правило, в неоднорідному середовищі і відображаються від різних неоднорідностей (відбивачів). Ці неоднорідності можуть бути розподілені усередині відносно невеликого відбиваючого (розсіюючого) об’єму. У цьому випадку різниці ходу (різниці значень ) для окремих шляхів невеликі. Якщо по такому каналу направити дуже короткий імпульс, то і на його виході імпульс буде також досить коротким. Такий канал прийнято називатиоднопроменевим. Наявність різних шляхів не викликає в цьому випадку істотного розсіювання енергії (розтягнення) сигналу в часі, але приводить до виникнення явища завмирань, яке полягає в більш-менш швидких випадкових змінах передатної функції каналу (мультиплікативна завада).

Рисунок 4.1 – Багатопроміневе поширення сигналу

Для пояснення завмирань розглянемо передачу по каналу (див. рис. 4.1) гармонійного сигналу з одиничною амплітудою .

Тоді на виході сигнал можна записати в такому вигляді

,

де – кількість шляхів (променів, що попадають у точку прийому);– коефіцієнт передачі по-му променю;– час поширення-го променя;– комплексний коефіцієнт передачі по-му променю;– комплексна амплітуда вихідного сигналу, що у даному випадку за визначенням дорівнює передатній функції каналу.

Передатна функція в загальному випадку залежить від частоти. Якщо врахувати, що внаслідок хаотичних переміщень відбивачів значення іфлуктують, тозалежить також від часу, являючи собою випадкову функцію (мультиплікативну заваду). У багатьох випадках ця функція флуктує значно швидше, ніж величиниі.

Важливою характеристикою каналу з завмираннями є розподіл імовірностей комплексної передатної функції і у першу чергу її модуля. Для визначення цього розподілу подамов наступному виді:

,

де і– відповідно модуль і аргумент передатної функції, які також є випадковими функціямиі, аі– квадратурні складові.

З іншого боку, згідно (4.6)

.

Звідки одержимо ;.

Оскільки значення йутворюються в результаті додавання великої кількості слабо корельованих величин з обмеженими дисперсіями, то до них можна застосувати центральну граничну теорему теорії імовірності Ляпунова і вважати їх нормально розподіленими.

Для випадку, коли усі одного порядку і фазові зсуви досить великі, легко показати, щоімають однакові дисперсії, а їхні математичні очікування. Тут одномірний розподіл імовірностіє релеєвським, тобто: ,.

Фаза результуючого сигналу при цьому розподілена рівномірно на інтервалі. Дисперсія квадратурних складовихдорівнює середній потужності сигналу, що надходить. Такі завмирання, як і канали, у яких вони виявляються, називаютьсярелеєвськими.

У багатьох каналах завмирання відрізняються від релеєвських. Іноді в одному з підпроменів коефіцієнт передачі значно більший, ніж в інших, і можна вважати, що крім дифузно відбитих підпроменів у місце прийому приходить і регулярний (не завмираючий) промінь. У цьому випадку коефіцієнт передачі каналупідкоряється узагальненому розподілу Релея.

Тут – відношення середніх потужностей регулярної і флуктуючих складових.

У загальному випадку, коли і,, виходить так званий чотирипараметричний розподіл модуля і фази завмираючого сигналу (загальна гауссівская модель каналу). Відповідні щільності імовірності наведені в [47].

Якщо по однопроменевому каналу з завмираннями передається відносно вузькосмуговий сигнал, а середньоквадратичне відхилення запізнювання в окремих підпроменях задовольняє умові

, (4.7)

де – ширина спектра сигналу, то зміни початкових фаз на різних частотаху спектрі сигналу,дорівнюють , майже однакові. При цьому всі складові спектра сигналу завмирають одночасно, тобто їхні амплітуди і фази змінюються однаково. Такі завмирання називаються загальними або гладкими.

Відзначимо, що умова (4.7) може виконатися при , тому що в радіоканалах. Якщо ж умова (4.7) не виконується, то в різних областях спектра сигналу процеси завмирань не збігаються (селективні по частоті завмирання). При цьому спостерігаються істотні зміни форми сигналу, що характерно для багатопроменевих каналів радіозв'язку (сигнали, що приходять у точку прийому утворені відображенням від сильно рознесених у просторі розсіючих об’ємів).

Швидкість змін у часі комплексного випадкового процесу (при фіксованій частоті) або, як говорять, швидкість завмирань сигналу характеризується часом кореляціїквадратурних компонентівіабо шириною спектра завмирань.