§2. Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Геометрический, физический и химический смысл определенного интеграла.

Истоки определенного интеграла относятся к античному периоду развития математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, некоторых задач статики и гидромеханики. Он основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших пространственных тел (например, пирамиды Египта). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н.э.) и особенно Архимеда (3 в. до н.э.). Дальнейшее применение и совершенствование данного метода связано с именами многих ученых 15-17 в.в.

Вам хорошо известно имя Иогана Кеплера (1571-1630) - немецкого астронома, одного их творцов астрономии своего времени. Он открыл законы движения планет, заложил основы теории затмений, изобрел телескоп. Когда он готовился к свадьбе и закупал вино, то был изумлен тем, как торговец вином измерял содержимое бочки: тот брал палку с нанесенными на ней делениями, и, опустив в бочку палку, затем точно определял количество вина в ней.

Таким образом, Кеплер впервые познакомился с методом исчерпывания и с его помощью нашел объемы 92 тел, среди которых можно выделить такие как лимон, груша и др.

Основные понятия определенного интеграла, а также его применение к решению прикладных задач были разработаны в трудах И.Ньютона (1643-1727) и Г.Лейбница (1646-1716) в конце 18 века. Существенную роль в создании теории определенных интегралов в 18 веке сыграли работы Л.Эйлера Я. , И. Бернулли, Ж.Лагранжа. В 19 веке (в связи с появлением понятия предела) понятие определенного интеграла приобрело завершенную форму в работах О.Коши, Б.Римана и др. Различные подходы к определению определенного интеграла в конце 19 века и в 20 веке привели к появлению различных типов определенного интеграла (И. Римана, И. Лебега, И Стилтьеса, И.Коши, И Колмогорова и др.). Большой вклад в развитие теории определенного интеграла внесли наши русские и советские математики: Д.Л.Чебышев, М.В. Остроградский, Стеклов, Егоров, Лузин, Колмогоров А.И. и др. С помощью определенного интеграла стало возможным решать единым методом многие теоретические и прикладные задачи, как новые, которые не поддавались решению, так и старые, требовавшие прежде специальных искусственных приемов.

К нахождению определенного интеграла сводится вычисление многих встречающихся на практике величин: площадей и поверхностей, объемов тел, работы переменной силы и др. Рассмотрим три задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.