3. Автономные системы
Поведение автономных систем задается разностным уравнением:
(1)
Автономные системы – модели ситуаций, где поведение изменяется с t, а структура системы остается неизменной.
Это дает возможность использовать для анализа системы графические методы.
В общем случае:
(2)
Функция d(.)
показывает. Насколько изменится состояние
системы, от периода к периоду. Каждой
точке х можно сопоставить вектор
в соответствии с уравнением (2). Функцияd(.)
в этом контексте называется также
векторным полем.
Для автономных систем:
В автономных
системах все системы попавшие когда –
либо в точку
в последствии следуют одной и той же
траектории.
В неавтономных
системах поведение зависит также от
того, когда система попала в точку
.
При начальном
условии
для автономных систем применяем уравнение
(1)
В вышеприведенной
системе
означает результатt-кратного
итеративного применения функции
к своему аргументу.
В уравнении
функция
иногда называется потоком системы.
4.Устойчивые состояния, периодические равновесия и стабильность.
Для многих
динамических систем характерно то, что
с течением времени система переходит
в устойчивое состояние. Поэтому нас
часто будет интересовать асимптотическое
поведение системы при
.
Рассмотрим систему
Следовательно,
если
существует, то
Устойчивое состояние
(стационарное или неподвижная точка):
точка
называется устойчивым состоянием
системы
или неподвижной точкой отображения
,
если
.
Неподвижные точки широко используются для изучения долговременного поведения экономических систем.
Пример:
Неподвижная точка:
Устойчивое состояние
динамической системы
называется стабильным, если любая
траектория, проходящая возле
остается
вблизи
.
Точка
называется стабильной (по Ляпунову),
неподвижной точкой отображения
,
если для любого
существует такое число
,
что
.
Асимптотическая устойчивость.
Точка
называется
асимптотически устойчивой, если она
стабильна по Ляпунову и, коме того, если
для любогоs
.
Периодическим
решением динамической системы
называется решение в форме:
,
где р – период орбиты.
Пример:
Скалярные линейные системы.
Имеют следующую формулу:
(1)
Если в уравнении
(1)
,
то (1) – однородное уравнение.
Однородные линейные системы.
t
(2)
Фазовая диаграмма
– график зависимости
Случай 1:
t =
1
В этом случае
асимптотически.
Случай 2:
В этом случае в
системе будут происходить периодические
колебания (осцилляции), затухающие со
временем
.
Случай 3:
В этом случае имеет место неограниченный рост системы.
Случай 4:
В этом случае в системе имеют место расходящиеся колебания с возрастающей амплитудой.
Оставшиеся возможности:
Общее решение:
(3)
Если
При
Неоднородные линейные системы.
(1)
При анализе неоднородных систем важную роль играет т.н. принцип суперпозиции. Заключается он в следующем:
Общее решение уравнения (1) м.б. записано в форме:
(2)
где
комплементарная функция (общее решение
однородного уравнения).
любое
частное решение уравнения (1).
Доказательство:
1. Если
- решение уравнения (1), то
тоже будет решением уравнения (1).
Если
- решение уравнения (1), то
Если
- другое решение (1), то
2. Мы показали, что
если мы начнем с какого – либо решения
и добавим к нему
,
то мы получим другое решение уравнения
(1). Возникает вопрос, получим ли мы
подобным образом все решения уравнения
(1).
Докажем, что это действительно так:
Пусть у нас есть
2 решения этого уравнения:
и
- однородное
уравнение
- общее
решение =
,
ч.т.д.
Автономные линейные системы.
Автономные линейные уравнения имеют вид:
(3)
(решение уравнения
)
В качестве частного решения уравнения (3) выберем устойчивое состояние системы (3) или т.н. стационарное решение.
Стационарное
решение
найдем как неподвижную точку (3):
Общее решение уравнения (3) будет иметь вид:
(4)
Если
,
то
В случае, когда
с течением времени система достигнет
состояния
и соответствующим подбором управления,
мы сможем достигнуть любого возможного
состояния. Система (3) называется в этом
случае управляемой.
Если
, то
,
т.е. система примет неограниченные
значения вне зависимости от управления,
т.е. в этом случае система (3) будет
неуправляема.
Формула (4) дает нам общее решение. Но нас также интересует частное решение в случае. Если нам известно состояние системы в момент t = S:
Частное решение:
(5)
Рассмотрим вопрос об устойчивости решений автономных линейных систем:
Если
,
то
В том случае, когда при применении некоторого отображения расстояние между двумя точками сокращается, такое отображение называется сжимающим.
Если
,
то
И отображение – растягивающее, система (3) будет асимптотически неустойчивой.
Неавтономные системы.
(1)
Прямое решение:
(2)
Если задано начальное состояние:
(2) называется прямым решением системы (1)
При
:
Если
(как для автономных систем), тогда
Если существует
число U,
такое, что уравнение на любом периоде
времени
,
то
Для того, чтобы прямое решение системы (1) асимптотически сходилось к устойчивому состоянию требуется, чтобы:
Последовательность
должна быть ограничена сверху.
Обозначим:
Если
,
то система асимптотически неустойчива
и с течением времени приобретает
неограниченные значения.
Обратное решение:
Сдвинем:
Если
,
то
,
тогда
В этом случае обратное решение будет асимптотически устойчивым.
Таким образом, либо прямое, либо обратное решение является асимптотически устойчивым.
Динамика цен на акции на фондовых биржах.
Предположим, что
- стоимость акций в моментt,
- последовательность
дивидендов по акции (считаем известными)
ожидаемая цена
акции в следующем периоде.
r – фиксированная процентная ставка по банковским вкладам.
Принцип отсутствия арбитража состоит в том, что на рынке не должно быть ситуаций, позволяющих получать немедленную прибыль без риска (подобные ситуации называются «арбитражи»).
Инвестируем
в банк, получаем
Покупаем акцию за
,
получаем
По принципу
арбитража:
Модель адаптивных ожиданий.
Подставим второе уравнение в первое:
Пусть
Предположим,
Найдем
для этого найдем неподвижную точку:
Модель с полным предвидением.
Неподвижная точка:
Модель поведения акций, при которой цены акций с течением времени неограниченно возрастают, называется финансовой пирамидой.
В модели полного предвидения ожидания инвесторов играют роль «самовыполняющегося пророчества»: цены на акции могут неограниченно расти, потому что инвесторы считают, что они будут расти.
Альтернативой моделей адаптивных ожиданий и полного предвидения является т.н. модель рациональных ожиданий, в которой предполагается, что оценка акций в следующем периоде является математическим ожиданием от стоимости акций в следующем периоде:
В этом случае прогнозы инвесторов представляют собой несмещенную оценку будущей стоимости акций.
однородные линейные
скалярные системы. Решение:
линейные скалярные
автономные системы.
.
Решение:
Общий случай – неоднородные, неавтономные системы.
Общая теория линейных систем.
Линейной системой первого порядка называется система, динамика которой задается уравнением:
вектор
nx1,
эндогенные переменные, вектор состояния
А – матрица nxn
вектор
nx1,
вектор управления. Экзогенные переменные.
Пример:
n = 2
Задача: найти
Для линейных систем в общем случае имеет место принцип суперпозиции:
Общее решение
системы
(1) = комплиментарная функция (общее
решение однородной системы
+ любое частное решение системы).
Линейные однородные системы.
(2)
Если матрица А является диагональной. То задача сводится к рассмотренной ранее. С общим решением (3).
Математическая вставка 1.
Комплексные числа.
вещественные
числа
а – вещественная часть комплексного числа
b – мнимая часть комплексного числа
сопряженное
комплексному числу с
r
– длина вектора с =
норма комплексного числа с
Представление в такой форме называется тригонометрической формой комплексного числа с.
В результате разложения этой формулы в ряд Тейлора получается формула Эйлера:
Комплексное число с при помощи формулы Эйлера м.б. представлено также в экспоненциальной форме:
Математическая вставка 2.
Собственные числа и собственные векторы.
Ах = у
Вектор е называется
собственным вектором матрицы А, если
,
при этом число
называется собственным числом матрицы
А.
Пример:
Вектор е является
собственным вектором матрицы А,
соответствующим собственному числу
.
Уравнение (5) – характеристическое уравнение для матрицы А.
Пример:
n = 2
Теорема: сумма собственных чисел матрицы равна следу матрицы, а П равно det.
Теорема: у квадратной матрицы размерностью n м.б. не больше n собственных чисел.
Они м.б. вещественными или комплексными. При этом каждому комплексному собственному числу будет соответствовать другое собственное число, сопряженное к первому.
Пример:
После определения собственных чисел можно определить собственные векторы матрицы А.
Будем искать собственный вектор в форме:
Соответствующие векторы соответствующие различным собственным числам матрицы А являются линейно не зависимыми.
Математическая вставка 3.
Диагонализация матрицы.
Поскольку все собственные векторы являются линейно – независимыми, у матрицы Е должна существовать обратная матрица.
диагональная
матрица
Найдем для матрицы
А собственную матрицу Е и матрицу
собственных чисел
.
Для n = 2 (6) имеет вид:
Случай 1:
вещественные
седловое
решение.
Случай 2:
комплексные
Собственные векторы: если у матрицы А собственные числа собственные, то и собственные векторы, соответствующие этим числам также будут комплексными и сопряженными:
Из (1) следует, что
Аналогично:
Пусть:
Тогда:
являются решениями
исходного разностного уравнения
Поскольку
периодические
функции, то в случае комплексных
собственных чисел общее решение системы
соответствует периодическим колебаниям.
Колебания м.б. затухающими или стабильными:
затухающие
расходящиеся
стабильные
Неоднородные автономные уравнения.
(2)
В силу принципа суперпозиции, общее решение системы (2) м.б. представлено в виде:
,
где
общее
решение однородной системы
частное
любое решение (2)
Пусть
- неподвижная точка
(2)
общее решение (2)
рассмотрим случай
седловых решений, когда:
Седловое решение
соответствует случаям, когда
.
Тогда общее решение:
Фазовые диаграммы для двумерных систем.
Элементы теории нелинейных систем.
вектор
состояния n
x
1
вектор
управления n
x
1
вектор
состояния в прошлом периоде n
x
1
В общем случае нелинейные системы не имеют аналитического решения:
Основным методом решения нелинейных систем является метод линеаризации. Он заключается в том, что область определения функции разбивается на несколько интервалов. В каждом из них нелинейная функция f(Z) апроксимируется линейной функцией касательной к кривой f(Z) в середине интервала.
Пример 1:
Логистическая модель роста.
процентная
ставка
коэффициент
прироста населения
Предположим, что
размер
популяции в моментt
в процентах от максимально – возможного.
Логистическая
модель:
коэффициент
пропорциональности, который выполняет
нормирующую функцию.
Найдем неподвижные точки:
Построим несколько
фазовых диаграмм, отвечающим различным
значениям
:
Осциллирующие колебания без определенного периода и определенной амплитуды называются в теории динамических систем хаотическим движением. Для х траекторий характерна большая степень зависимости поведения от начальных условий. Небольшие погрешности в начальном состоянии системы усиливаются с течением времени и через несколько периодов состояние двух систем с почти идентичными начальными условиями будут существенно различаться – «эффект мотылька».
Модель экономического роста Солоу.
Введем обозначения:
размер
капитала в период t
рабочая
сила в период t
инвестиции
в период t
ВВП
в период t
(1)
потребление
в период t
Математическая вставка 4.
Однородные функции.
Функция f(x)
векторного аргумента х называется
однородной порядка n,
если для любого
Примеры:
,
однородная 0го порядка
,
однородная 1го порядка
,
однородная 2го порядка
- неоднородная
Если
, то однородная 1го порядка
Условия:
Обозначим прописными буквами переменные в пересчете на душу населения:
ВВП
на душу населения
Из (3)
Увеличение нормы сбережений имеет два эффекта:
увеличивает количество капитала в стационарном состоянии, а значит и Vввп на душу населения.
уменьшает долю ВВП, приходящуюся на потребление.
Первый эффект увеличивает потребление на душу населения в стационарном состоянии, а второй – уменьшает.
Возникает вопрос: существует ли оптимальная S, гарантирующая максимум С в стационарном состоянии.
Темп прироста =
Введение в теорию оптимального управления.
Задача оптимального
управления состоит в выборе
последовательности управляющих
воздействий
,
с тем, чтобы достичь определенной цели.
прибыль
(критерий оптимальности) в момент t
Мы ограничимся рассмотрение задач с фиксированным периодом управления.
Основным принципом при решении подобных задач является метод обратной индукции, заключающийся в поиске оптимального решения от последнего периода к первому.
Пример 1:
(пираты)
Пример 2:
N периодов времени. В каждый из периодов появляется один покупатель.
Каждый покупатель
согласен заплатить за товар СВ
.
Если
,
товар покупается; прибыль продавца = Р.
Задача – максимизировать прибыль.
Решение задачи –
последовательность цен
.
Обозначим через Vt ожидаемую прибыль продавца в момент t, если до этого товар не был продан.
t = N
