2. Детерминированные динамические системы с дискретным временем.
Многие приложения в экономике требуют моделирования экономических систем во времени.
Состояние системы в данный момент времени описывается n-мерным вектором X(t):
Время в системе течет дискретно: t = 0,1,2,…
Эволюция системы
со временем описывается функцией
,
где:
начальные
состояния системы
время
вектор параметров
Эта функция называется также переходной функцией.
Динамическая
система в n-мерном
пространстве – это пара (x,g),
где
- правило. Описывающее текущее состояние
как функциюt,
начальных условий и параметров. Множество
х содеожит все возможные состояния
системы и называется пространством
состояний.
Пример:
Функция
как правило неизвестна. Обычно она
задана неявно, как решение системы
дифференциальных или разностных
уравнений сt
в качестве независимой переменной.
Разностное уравнение или система уравнений – это уравнение в следующей форме:
(1)
где
состояние системы в моментt
решением уравнения (1) является последовательность векторов:
Обычно предполагается,
что уравнение (1) можно решить аналитически
относительно
и переписать в форме т.н. уравнений
состояний:
(2)
Пример:
Разностное уравнение
называется линейным если f(.)
– линейная функция переменных состояния
(не обязательно линейная относительно
).
Любую систему, представленную в форме (2) всегда можно свести к форме (1), но не наоборот.
В уравнениях (1) и (2) величина m называется порядком системы.
Мы будем рассматривать, главным образом, уравнения первого порядка. Это не является серьезным ограничением, поскольку системы более высокого порядка можно свести к системам первого порядка путем введения дополнительных переменных и уравнений.
Пример:
(второго порядка,
зависит от двух переменных)
Введем новую
переменную:
Тогда:
Получили два уравнения первого порядка.
Таким образом, мы будем рассматривать системы следующего вида:
(3)
Уравнение (3) называется автономным, если t не входит в него отдельным аргументом.
Пример:
Пусть
объем
капитала (ОФ)
норма
амортизации
инвестиции
в ОФ
Уравнение первого
порядка линейное (
в первой степени), неавтономное (
).
Решение уравнения
(3) – это последовательность векторов
состояний
,
удовлетворяющих уравнению (3) для всех
возможных значенийt.
Эта последовательность – траектория
или орбита системы.
Уравнение (3)
показывает, как состояние системы
изменяется от периода к периоду, а
траектория системы дает ее эволюцию,
как функцию начальных условий и внешней
среды
(экзогенных переменных).
Если нам известно
начальное состояние системы
,
легко получить последовательность
решений путем итеративного применения
отношения (3). В результате мы получим
переходную функцию следующим образом:
Если f(.)
– однозначная, всюду определенная
функция, то существует уникальное
решение уравнения (3) для любого
.
Если f(.)
– непрерывная дифференциальная функция,
то решение также будет «гладким»
относительно
и
.
Полученное решение
зависит от начального состояния
.
Задача с граничными условиями состоит из уравнения (3) и граничного условия, обычно задаваемого в форме:
(4)
Если в уравнении (4) s = 0, то оно называется начальным состоянием.
Уравнение (3) имеет много решений, а уравнение (3) + уравнение (4) – единственное решение. Поэтому различают общее и частное решения разностного уравнения (3).
Под общим решением понимается семейство последовательностей, удовлетворяющих уравнению (3):
где с – «индексирует» частные решения.
Пример:
размер
вклада в момент t
процентная
ставка
Если можно найти обще решение, у нас будет полная информация о поведении системы с t, в частности, будет легко исследовать, как система реагирует на изменение параметров.
Общее решение существует только для определенных классов линейных систем.
