8 Класс
1. Доказать, что при любом натуральном n число
является квадратом рационального числа.
2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?
3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.
4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и CAB=CDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.
5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011-2012 учебном году
9 Класс.
1. Из цифр 4 и 9 (каждая цифра должна быть использована) составить наименьшее возможное натуральное число, кратное 4 и 9.
2. Двоечник Вова складывает дроби,
прибавляя числитель к числителю, а
знаменатель - к знаменателю. Однажды он
сложил две правильные несократимые
дроби и получил ответ, который в два
раза меньше истинного. Какие дроби
складывал Вова, если известно, что они
различны и одна из них равна 
.
(Найдите все варианты и докажите, что
других нет.)
3. В треугольнике ABC провели медианы AN и BM. Оказалось, что AN=BM=AB=1. Найти AC.
4. Даны положительные числа a,b,c такие, что abc=ab+bc+ac. Доказать неравенство
.
5. На столе лежит 35 монет. За ход можно перевернуть любые две, находящиеся в одинаковом положении (две решки или два орла). Могло ли случиться, что к некоторому моменту любую пару монеток переворачивали ровно один раз?
9 Класс.
1. Из цифр 4 и 9 (каждая цифра должна быть использована) составить наименьшее возможное натуральное число, кратное 4 и 9.
2. Двоечник Вова складывает дроби, прибавляя числитель к числителю, а знаменатель - к знаменателю. Однажды он сложил две правильные несократимые дроби и получил ответ, который в два раза меньше истинного. Какие дроби складывал Вова, если известно, что они различны и одна из них равна . (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)
3. В треугольнике ABC провели медианы AN и BM. Оказалось, что AN=BM=AB=1. Найти AC.
4. Даны положительные числа a,b,c такие, что abc=ab+bc+ac. Доказать неравенство
.
5. На столе лежит 35 монет. За ход можно перевернуть любые две, находящиеся в одинаковом положении (две решки или два орла). Могло ли случиться, что к некоторому моменту любую пару монеток переворачивали ровно один раз?