Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011-2012 учебном году

7 Класс

1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:

2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

3 . На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

4.Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.

7 класс

1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:

2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

4 . Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.

7 класс

1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:

2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

4 . Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.

7 класс

1. A, B, C, D – четыре последовательные цифры (в порядке возрастания). Четырьмя звёздочками обозначено число, состоящее из тех же цифр A, B, C, D в каком-то порядке. Решите числовой ребус:

2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

3. На доске выписано число 181818…18 (всего 100 цифр: 50 единиц и 50 восьмёрок). Вова вычеркнул из него 13 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

4 . Разрежьте приведённую на рисунке картинку на четыре равные части, повредив при этом как можно меньше костей домино. (Не забудьте объяснить, почему нельзя обойтись меньшим число повреждённых костей домино.)

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6×6, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.