1.2 Спектр сигнала

Предположим, что сигнал представляет собой воздействие в виде периодической функции времени х(t) с периодом Т = 1/f, которую можно представить рядом Фурье:

(1.1)

где =2f₀; ₁,₂,₃ … - начальные фазы отдельных гармоник; Х_1m, Х_2m, Х_3т , ...- их амплитуды,

(1.2)

здесь

; (1.3)

.

Смысл формулы (1.1) состоит в том, что любая периодическая функция х (t) может быть представлена суммой синусоидальных колебаний с частотами, кратными основной частоте , и с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Отдельные слагаемые суммы (1.1) называются гармониками. Колебания основной частоты ₁ называют первой гармоникой, колебание с частотой ₂ - второй гармоникой и т. д.

Постоянная составляющая

(1.4)представляет собой среднее значение функции х(t). Совокупность величин X_km называется спектром амплитуд; совокупность величин _k - спектром фаз. Чаще всего интересуются только спектром амплитуд и называют его для краткости просто спектром. Графически спектр изображают в координатах _m,  (рис. 1.6). Длины вертикальных отрезков представляют собой амплитуды соответствующих гармоник; эти отрезки называют спектральными линиями, а сам спектр - линейчатым.

В общем случае сумма (1.1) является бесконечным рядом. Но в действительности для всех сигналов число членов ряда, а следовательно, и число спектральных линий конечно, так как амплитуды гармоник, начиная с некоторого номера, становятся настолько малы, что ими можно пренебречь, не нарушая смысла сообщения. Таким образом, сигналы в системе управления и связи практически всегда представляются функциями с ограниченным спектром.

Интервал частот, в котором размещается ограниченный спектр,называется шириной спектра. Ограничение спектра производят, исходя из допустимого искажения сигнала, так, чтобы не потерять содержащуюся в нем информацию.

В качестве примера рассмотрим амплитудно - модулированный сигнал

(1.5)

в котором х(t) описывается выражением (1.1). Обычно частота _нес на один - два порядка превышает высшую гармонику n ₁ сигнала x(t), поэтому говорят, что амплитуда несущих колебаний медленно меняется в соответствии с сигналом, а высокочастотные колебания являются переносчиком информации. Например, сигнал медленноменяющегося постоянного тока x(t) не может пройти через емкостную цепь, но легко может быть передан в нагрузку посредством амплитудной модуляции с последующей демодуляцией его.

Как видно из (1.5), амплитудная модуляция осуществляется в результате нелинейного преобразования сигнала - умножения гармонического колебания с постоянной амплитудой U₀ и сигнала х(t). В результате получается негармоническое колебание, имеющее сложный спектр. Чтобы представить его, упростим задачу, положив x(t) = cos Ωt. После подстановки х(t) в выражение (1.5) и перемножения функций получим

(1-6)

Иначе говоря, AM-колебание содержит три составляющие: колебание несущей частоты и два колебания с частотами ± Ω, которые называются боковыми частотами. Спектр АМ- колебаний состоит из трех линий (рис. 1-3, б). В общем случае при AM ширина спектра равна удвоенной ширине спектра модулирующей функции (точнее, удвоенной высшей частоте этого спектра). Амплитуда боковых частот пропорциональна , т. е. глубине модуляции; при отсутствии модуляции боковых частот нет, а при наиболее глубокой модуляции амплитуды боковых частот равны половине амплитудынесущей.

При частотной модуляции (ЧМ) амплитуда несущих колебаний постоянна, а приращение, пропорциональное х(t), получает частота несущих колебаний _нес=₀+x(t); при фазовой модуляции фаза колебаний φ=φ₀+φx(t). (Здесь  и φ - частотное и фазовое отклонения, которые определяют глубину модуляции и выбираются по усмотрению проектировщика).

Форма напряжения сигнала несущей с ЧМ приведена ранее, на рис. 1.1-в. Аналогичным будет и сигнал с ФМ. Модулирующая функция х(t) изменяется по треугольному закону (рис. 1.1-а). ФМ можно рассматривать как разновидность ЧМ и наоборот. Ширина спектра ЧМ-колебаний может быть определена как 2 и называется также полосой качания, так как в процессе модуляции частота может принимать любое мгновенное значение в интервале ₀±. При AM ширина спектра не зависит от интенсивности модулирующего сигнала, а при ЧМ - прямо пропорциональна амплитуде модулирующих колебаний.