19. Линейно-вероятностная модель с дискретной зависимой переменной. Спецификация модели
Кроме того, в классической регрессионной модели предполагалось, что ошибки имеют стандартное нормальное распределение. В то же время часто бывает, что зависимая переменная является дискретной.
Примеры:
Покупать ли автомобиль;
Идти ли на выборы;
Способ попадания из дома на работу (пешком, на метро, наземным общественным транспортом или на личном автомобиле);
Выбрать ли для отдыха авиа – или автобусный тур;
Переехать ли на постоянное место жительства в другой регион и т.п.
Если есть только два возможных значения зависимой переменной, то такие модели будут называться моделями бинарного выбора. Для таких моделей зависимая переменная, которая может иметь нечисловую переменную, принимает значения 0 или 1. Формально применение МНК для таких моделей возможно, но есть несколько «подводных камней». Рассмотрим линейную вероятностную модель и те проблемы, которые возникают при ее интерпретации.
Линейная вероятностная модель.
В рамках этой модели:
1 - если событие произошло;
0 - если не произошло Yt Yi 1 2 Xi ui ui, E 0
Yi = E Yi Xi
Таким образом, мы представляем Y как сумму детерминированной части и случайного возмущения. Пока формально все как и прежде. Но: Y может принимать только два значения 0 и 1.
Значит, выражение 1 = 2 Xi имеет смысл вероятности, и, следовательно, значения выражения должны лежать в пределах 0; 1
Основные недостатки линейной вероятностной модели: Остатки распределены не нормально: их распределение и вовсе является дискретным
В силу перечисленных недостатков, линейная вероятностная модель редко находит применение на практике.
20. Матричная форма метода наименьших квадратов: спецификация множественной регрессионной модели в матричной форме, вывод оценки вектора параметров модели
Метод наименьших квадратов— математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции.
Метод
наименьших квадратов (МНК)
дает оценки, имеющие н а и м е н ь ш у ю
дисперсию в классе всех линейных оценок,
если выполняются предпосылки нормальной
линейной регрессионной модели. МНК
минимизирует сумму квадратов отклонения
наблюдаемых значений 𝑦𝑖
от модельных значений
.
Оценки, полученные по МНК, обладают
свойствами
несмещенности, эффективности и
состоятельности.
Несмещенность
оценки означает, что математическое
ожидание остатков равно нулю. Если
оценки обладают свойством несмещенности,
то их можно сравнивать по разным
исследованиям. Оценки считаются
эффективными,
если они характеризуются наименьшей
дисперсией. Поэтому несмещенность
оценки должна дополняться минимальной
дисперсией. Достоверность доверительных
интервалов параметров регрессии
обеспечивается, если оценки будут не
только несмещенными и эффективными, но
и состоятельными. Состоятельность
оценокхарактеризует увеличение их
точностис увеличением объема выборки.