9. Диагностика эконометрических моделей: тестирование гетероскедастичности случайного возмущения (тест Голдфельда-Квандта)

В этом случае также предполагается, что стандартное отклонение ζi =ζ(ε) пропорционально значению xi, т. е. ζ2 = ζ2ix2i, i = 1, 2,…,n. Предполагается, что εi имеет нормальное распределение и автокорреляция остатков отсутствует. Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1) Все n наблюдений упорядочиваем по величине X.

2) После этого всю упорядоченную выборку разбиваем на три подвыборки размерностей k, n-2k, k соответственно. 3) Оцениваем отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по k первой подвыборке (сумма квадратов отклонений S1 = Σe2i) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборкеn суммы квадратов отклонений S3 = Σe2i). 4. Для сравнения соответствующих дисперсий строим следующую F-статистику:

Здесь (k-m-1) число степеней свободы выборочных дисперсий (m — количество объясняющих переменных в уравнении регрессии). При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ν1 = ν2 = (k-m-1).

5. Если Fнабл = S3/S1>Fкрит = Fα,v1,v2;, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (здесь α — выбранный уровень значимости).Важный вопрос: какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений? Для парной регрессии Голдфелд и Квандт предлагают следующие соотношения: n = 30, k = 11; n = 60, k = 22.Для множественной регрессии данный тест, как правило, проводится для той объясняющей переменной, которая в наибольшей степени связана с ζi. При этом k должно быть больше, чем (m + 1) . Если нет уверенности относительно выбора переменной X, то данный тест можно проводить для каждой из объясняющих переменных. Тест Голдфелда-Квандта может быть использован при предположении об обратной пропорциональности между ζi и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F = S1/S3.

10. Диагностика эконометрических моделей: тестирование гетероскедастичности случайного возмущения (тест Уайта)

Это наиболее общий тест, который следует применять, когда о форме гетероскедастичности ничего неизвестно. Тестируется гипотеза H0 : σ 2 i = σ 2 , i = 1, . . . , n, против наиболее общей альтернативы, состоящей в том, что H0 не выполняется. Для этого из всевозможных поэлементных произведений столбцов матрицы X (включая квадраты) - XmiXli, m, l = 1, . . . , k, i = 1, . . . , n - и столбца единиц строится матрица наблюдений размера n × (k(k + 1)/2 + 1). В качестве зависимой переменной выбирают квадраты остатков e 2 i в первоначальной регрессии Y на X методом наименьших квадратов. Обозначим через R2 коэффициент детерминации в регрессии этой зависимой переменной на построенную матрицу наблюдений. Статистика Уайта равна nR2 и имеет асимптотическое χ 2 распределение с k(k + 1)/2 степенями свободы. При превышении критического значения на заданном уровне значимости по таблице распределения χ 2 гипотеза H0 о гомоскедастичности должна быть отвергнута.

11. Диагностика эконометрических моделей: тестирование значимости структурных изменений в экономике (тест Чоу)

Проверку наличия (или отсутствия) в выборочных данных структурных изменений можно выполнить также при помощи теста Чоу.

Тест Чоу
 используется для проверки однородности двух выборок, а именно проверяется нулевая гипотеза, что две выборки описываются одним и тем же уравнением регрессии.

Алгоритм теста:

Пусть имеется две подвыборки: одна объемом , а другая объемом .

1. По каждой подвыборке строятся линейные регрессионные модели с переменными:

, для первой подвыборки,

, для второй подвыборки.

Рассчитываются суммы квадратов остатков для этих регрессий и .

2. Строится линейная регрессия по объединенной выборке:

.

Вычисляется ее сумма квадратов остатков .

3. Формулируется нулевая гипотеза:

где — параметры моделей.

Очевидно, что при совпадении параметров регрессии выполняется равенство . Чем сильнее различие в поведении для двух подвыборок, тем больше значение будет превосходить значение суммы .

4. Для проверки гипотезы вычисляется фактическое значение -статистики по формуле:

.

Здесь — количество параметров уравнений регрессий, — число наблюдений по всей совокупности.

В случае, если , то считается, что различие между и статистически незначимо и возможно построение уравнение регрессии по объединенной выборке объема .

Если, то различие между и статистически значимо, что определяет и существенность различия поведения наблюдаемой переменной для двух подвыборок. В случае регрессионного анализа с фиктивными переменными это означает необходимость введения в уравнение регрессии соответствующей фиктивной переменной.