5. Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент является весьма эффективным средством получения математической модели исследуемого объекта, особенно при числе факторов k>3. Однако увеличение числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ 2⁶требует постановки 64 опытов, а 2⁷– 128 опытов. Конечно, точность модели при увеличении числа опытов также возрастает, однако это приводит к большим затратам средств и времени.

Практика показывает, что для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии можно обойтись малым количеством опытов, вводя понятие дробного факторного эксперимента или дробных реплик, который представляет собой некоторую часть (1/2, 1/4, 1/8 и т.д.) от полного факторного эксперимента.

Сокращение числа опытов влечет за собой появление корреляции между оценками коэффициентов. Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты взаимодействия. Получаются так называемые смешанныеоценки.

Для дробных реплик используются специальные алгебраические соотношения, облегчающие выявление смешанных эффектов. Они называются генерирующими соотношениямииопределяющими контрастами.

Генерирующим называется соотношение, которое показывает, какое из взаимодействий факторов принято незначимым по влиянию на выходную переменную, а поэтому может быть заменено в матрице планирования новой независимой переменной. Например, вместо плана 2³можно использовать его полуреплику – план 2^3–1. Если в качестве генерирующего соотношения выбрать

, (23)

то для построения уравнения регрессии достаточно четырех опытов, а качестве плана можно использовать расширенную матрицу планирования для эксперимента 2² (табл. 3)

Таблица 3

№ оп.	X0	Х1	Х2	X3=Х1Х2
1	+1	–1	–1	+1
2	+1	–1	+1	–1
3	+1	+1	–1	–1
4	+1	+1	+1	+1

С генерирующими соотношениями можно производить алгебраические операции: умножать левую и правую часть на любые эффекты – линейные и определенные взаимодействия. При этом если фактор входит в уравнение в квадрате или другой четной степени, то он заменяется единицей. Умножив обе части генерирующего соотношения (23) на получимили

(24)

Это и есть определяющий контраст, соотношение, которое задает элементы первого столбца.

Зная определяющий контраст, можно получить систему смешанных оценок для данной дробной реплики. Для этого определяющий контраст умножается на каждый фактор и взаимодействие факторов. В рассматриваемом примере для полуреплики от плана 2³смешанные оценки коэффициентов уравнения регрессии задаются следующими соотношениями:

(25)

что соответствует оценкам

(26)

Эффективность системы смешивания факторов и взаимодействия факторов определяется так называемой разрешающей способностью матрицы. Она считается максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высоких порядков.

Для построения дробных реплик большей степени дробности (2^k–p,р– число вновь введенных в рассмотрение факторов) необходимо задать столько генерирующих соотношений либо определяющих контрастов, сколько эффектов взаимодействия заменяются новыми независимыми факторами. Например, в плане типа 2^5–2могут быть заданы такие генерирующие соотношения:

(27)

Определяющие контрасты для этой реплики будут таковы:

(28)

Перемножив определяющие контрасты между собой, получим так называемый обобщающий определяющий контраст, который с учетом (28) полностью характеризует разрешающую способность реплики высокой степени дробности:

(29)

При этом получается следующая система смешанных оценок для линейных эффектов

Обработка результатов ДФЭ осуществляется по тому же алгоритму, что и ПФЭ – соотношения (11) – (19).