1. Полный факторный эксперимент первого порядка

При планировании по схеме ПФЭ первого порядка реализуются все возможные комбинации факторов на двух выбранных для исследования уровнях. Необходимое количество опытов Nпри ПФЭ определяется из соотношениягдеk– число факторов, 2 – означает, что каждый фактор имеет два уровня варьирования. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

Например, изучается влияние на выход продукта Y,% трех факторов: температурыZ₁(100–200С), давленияZ₂(2–610⁵  Па) и времени пребыванияZ₃(10–20 мин). Верхний уровень по температуре равен 200С, нижний – 100С, тогда дляZ₁имеем:

.

Вообще для любого фактора Z_j:

(2)

(3)

Точка с координатами называетсяцентром плана,–интервал варьированияпоj–фактору.

Перейдем к безразмерной системе координат по формуле

. (4)

Для безразмерной системы координат

В рассматриваемом примере . Число опытов, представляющее число всех возможных комбинаций уровней факторов,N = 2³ = 8. План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде таблицы (табл. 1). В приведенном планеx₀– фиктивная переменная, равная единице; каждый изNопытов повторяетсяmраз, т.е. проводитсяmпараллельных опытов, что позволяет рассчитать ошибку эксперимента и оценить в дальнейшем адекватность уравнения регрессии. Данный план позволяет получить коэффициенты линейного уравнения регрессии

(5)

Приведенная матрица планирования обладает свойствами ортогональности

, (6)

симметричности

, (7)

нормировки

, (8)

которые уменьшают трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии.

Таблица 1

№ оп	X0	Х1	Х2	Х3	Y
1	+1	–1	–1	–1
2	+1	–1	–1	+1
3	+1	–1	+1	–1
4	+1	–1	+1	+1
5	+1	+1	–1	–1
6	+1	+1	–1	+1
7	+1	+1	+1	–1
8	+1	+1	+1	+1

Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) обладают также рототабельностью. Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий рассчитанных по уравнению регрессии значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии рассчитанных значений выходной переменной можно записать:

(9)

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии равны между собой и, следовательно, или с учетом того, что(– радиус сферы),Отсюда следует, что дисперсия рассчитанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы.

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с учетом взаимодействия факторов

(10)

то для определения коэффициентов необходимо расширить матрицу планирования следующим образом:

Таблица 2

№ оп.	X0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	Y
1	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1
2	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1
3	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1
4	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1
5	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1
6	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1
7	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Значения элементов в дополнительных столбцах расширенной матрицы планирования (табл. 2) представляют собой парное или тройное произведение элементов соответствующих основных столбцов.