Контрольные вопросы

1. Закон сохранения импульса.

2. Тензор плотонсти потока импульса и его представление в декартовой системе координат.

3. Уравнение Бернулли для стационарного случая.

4. Уравнение Бернулли для нестационарного случая.

4. Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости

Для описания движения идеальной несжимаемой жидкости запишем следующую систему уравнений:

,

.

Используя векторное тождество в уравнении Эйлера, и применив к нему операцию , получим:

,

.

Если движение жидкости потенциальное, то , и система принимает вид:

,

.

Введем потенциал скорости : . Тогда имеем

,

.

Таким образом, решение задач о потенциальном течении идеальной несжимаемой жидкости сводится к решению одного скалярного уравнения

(4.1)

с учетом граничных условий. Уравнение (4.1) носит название уравнения Лапласа, хотя еще Д’Аламбер и Эйлер в 1761 году занимались решением подобных уравнений для задач гидродинамики. При соприкосновении идеальной жидкости с твердым телом должно выполняться так называемое граничное условие «непроникания»:

или , (4.2)

если тело покоится ( - нормаль к поверхности раздела), и

или , (4.3)

если тело движется со скоростью .

Примеры решения задач

1. С фера радиуса движется с постоянной скоростью в идеальной несжимаемой жидкости. Поставить краевую задачу для уравнения Лапласа. Получить выражение для потенциала и скорости частиц жидкости .

Решение: Воспользуемся сферической системой координат ( ), начало которой в данный момент времени совпадает с центром сферы, угол будем отсчитывать от направления вектора скорости . Запишем уравнение Лапласа:

.

В силу симметрии решение задачи не должно зависеть от азимутального угла , следовательно,

.

Для корректного решения задачи необходимо поставить два граничных условия:

1. ,

2. .

Первое из них отражает тот факт, что частицы жидкости на бесконечности остаются в покое, второе – это граничное условие “непроникания” (4.3) – равенство нормальных к поверхности сферы составляющих скорости частиц жидкости и точек сферы.

Для функции потенциала скорости граничные условия можно переписать следующим образом:

1. ,

2. .

Решение для функции потенциала будем искать в виде , поскольку при этом автоматически выполняется граничное условие на поверхности шара. Подставляя данный вид в уравнение Лапласа, получаем уравнение для функции :

.

Это уравнение решаем, полагая . Несложно получить, что для данной задачи , . Следовательно, , где и - постоянные, которые необходимо определить из граничных условий.

Поскольку , из первого граничного условия следует, что , из второго находим: . Таким образом,

.

Для определения компонент вектора скорости, необходимо вспомнить, что . Тогда

,

,

.

Ответ можно выразить через радиус-вектор :

;

.

2 . Найти присоединенную массу шара радиуса , движущегося равноускоренно в идеальной несжимаемой жидкости плотности .

Решение: Введем понятие присоединенной массы. Пусть шар массой движется с постоянным ускорением . Тогда в момент времени его скорость равна , при этом предполагается, что . Путь, пройденный телом за это время, запишем как . Работа внешней силы , идущая на повышение кинетической энергии шара и жидкости, находится следующим образом: . Поскольку в начальный момент времени шар и жидкость покоились, то есть их суммарная кинетическая энергия была равна нулю, имеем:

,

здесь - скорость движения жидкости, а интегрирование ведется по всему объему жидкости (для данной задачи ). Отсюда следует, что силу можно представить как

,

где - присоединенная масса.

Для вычисления присоединенной массы шара можно воспользоваться результатом решения задачи 4.6.

Ответ: .

3. Каково ускорение сферического газового пузырька в начале его всплытия в идеальной однородной тяжелой несжимаемой жидкости?

Решение: В начале всплытия на пузырек массы действует сила тяжести , сила Архимеда и сила сопротивления жидкости , где - присоединенная масса пузырька, - масса жидкости в объеме пузырька. Уравнение его движения имеет вид:

,

следовательно,

.

Пренебрегая массой пузырька, приближенно получим, что .