7.3. Метод простых итераций

Заменим уравнение (1) на эквивалентное ему уравнение

, (7.2)

Выберем начальное приближение и вычислим дальнейшие приближения по формулам

, n = 0,1,2, … (7.3)

Если стремится к некоторому пределу , то этот предел есть корень исходного уравнения (1).

Условия сходимости. Если имеет непрерывную производную, тогда

(7.4)

где точка лежит между точками и . Поэтому

1. если всюду , то отрезки убывают не медленнее членов геометрической прогрессии со знаменателем q < 1 и последовательность (4) сходится при любом начальном приближении;

2. если , то итерации расходятся;

3. если , но вдали от корня, то метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к корню.

Очевидно,что вблизи корня сходимость будет наиболее быстрой, если .

Оценка погрешности. Вблизи корня итерации сходятся приблизительно как геометрическая прогрессия со знаменателем . Чтобы сумма дальнейших ее членов не превосходила , должно выполнять условие

. (7.5)

7.4. Метод Ньютона (касательных)

Пусть в уравнении (1) функция имеет непрерывную производную. Тогда это уравнение можно преобразовать к виду

. (7.6)

Приближенно заменяя на получим итерационный процесс

, (7.7)

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать

. (7.8)

Тогда

(7.9)

и для простого корня

, (7.10)

что обеспечивает быстрейшую сходимость метода.

Для p-кратного корня приближенное представление функции в окрестности корня в виде первого члена ряда Тейлора имеет вид

. (7.11)

Тогда, с учетом (9)

, (7.12)

и, значит, при достаточно близком к корню начальном приближении метод Ньютона сходится.

Оценим скорость сходимости к простому корню. По определению (3)

(7.13)

Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и учитывая (10), получим

. (7.14)

Т.о., сходимость - квадратичная.

7.5. Метод секущих

В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно приближенно заменить производную в (7) конечноразностным выражением

. (7.15)

Тогда вместо (7) имеем итерационный процесс

. (7.16)

Для его начала требуется задать и(двухшаговый процесс).

7.6. Метод парабол

Если заменить функцию на ее трехточечную интерполяцию

(7.17)

то, приравняв ее нулю, получим уравнение

, (7.18)

где

(7.19)

Из двух корней уравнения (18) берется наименьший по модулю и следующее приближение принимает значение

. (7.20)

Для начала вычислений необходимо задать три начальных приближения ,и(трехшаговый процесс).

7.4. Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений

Систему нелинейных уравнений можно записать в краткой векторной форме

(7.21)

или в координатном виде

(7.22)

Пусть известно некоторое приближение к корню. Запишем исходную систему (21) в виде

, (7.23)

где

. (7.24)

Раскладывая уравнения системы (23) в ряды Тейлора с удержанием главных членов приращений, получим СЛАУ

(7.25)

относительно приращений . После ее решения находим новое приближение

. (7.26)