
- •1. Погрешность
- •1.1. Определение погрешности
- •1.2. Источники погрешности
- •1.3. Способы оценки погрешности
- •2. Аппроксимация, интерполяция функций
- •2.1. Задачи аппроксимации и интерполяции
- •2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •2.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •2.4. Погрешность и трудоемкость интерполяции
- •2.5. Нелинейная интерполяция
- •2.6. Эрмитова интерполяция
- •2.7. Интерполяция сплайнами
- •2.8. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
- •2.9. Двумерная интерполяция
- •3. Численное дифференцирование
- •3.1. Полиномиальные формулы
- •3.2. Конечноразностные формулы
- •3.3. Метод Рунге - Ромберга
- •3.4. Вычисление частных производных
- •4. Вычисление интегралов
- •4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •4.2. Формула средних
- •4.3. Формула трапеций
- •4.4. Формула Симпсона
- •4.5. Формулы Гаусса и Маркова
- •4.6. О сходимости квадратурных формул
- •4.7. Нестандартные случаи интегрирования
- •4.8. Вычисление кратных интегралов
- •4.9.Метод ячеек
- •5. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Корректность задачи
- •5.3. Методы решения слау
- •5.4. Метод Гаусса (схема единственного деления)
- •5.5. Метод прогонки
- •5.6. Метод lu-разложения
- •5.7. Метод квадратного корня
- •5.7. Итерационные методы решения слау
- •5.8. Обращение матриц
- •6. Алгебраическая проблема собственных значений
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. О методах решения характеристического уравнения
- •6.3. Преобразование подобия
- •6.4. Итерационный метод вращений (Якоби)
- •6.5. О выборе аннулируемых элементов
- •7. Методы решения нелинейных уравнений и систем
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Метод половинного деления (дихотомия)
- •7.3. Метод простых итераций
- •7.4. Метод Ньютона (касательных)
- •7.5. Метод секущих
- •7.6. Метод парабол
- •7.4. Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений
5.8. Обращение матриц
Отыскание матрицы, обратной заданной матрице A, основывается на тождестве
,
(5.51)
где
- единичная матрица. Это матричное
равенство можно рассматривать как n
СЛАУ относительно n
неизвестных
векторов, являющихся столбцами матрицы
.
Таким образом, задача обращения матрицы
эквивалентна задаче решения n
СЛАУ с одной и той же матрицей, но с
разными правыми частями.
6. Алгебраическая проблема собственных значений
6.1. Постановка задачи
Рассматривается матричное (векторное) уравнение
,
(6.1)
для которого
ищется решение - ненулевой вектор
и значение параметра
,.при
котором это решение существует. Такое
значение
называется собственным
значением матрицы
,
а вектор
- ее собственным
вектором.
После записи уравнения (1 ) в виде
,
(6.2)
где матрица
называется
характеристической
матрицей,
легко видеть,что ненулевое решение
существует, если
(6.3)
Уравнение
(3) относительно искомого параметра
называется характеристическим
уравнением
и после раскрытия определителя приобретает
вид алгебраического уравнения n-й
степени, которое:
,
(6.4)
которое
имеет n
корней, собственных значений,
.
Многочлен
называется характеристическим
многочленом.
Подставив каждое из собственных значений
в матричное уравнение (2) и решив его,
можно найти собственные вектора
,.
Если ищутся все n собственных значений и векторов, то говорят о полной проблеме собственных значений, если же интересуются только некоторыми собственными значениями, то это - частичная проблема собственных значений.
Все методы решения проблемы собственных значений можно разделить на две группы:
методы, непосредственно решающие нелинейное уравнение (3) или (4);
методы, преобразующие задачу определения собственных значений матрицы
в задачу определения собственных значений матрицы специального вида, например, треугольной или диагональной.
6.2. О методах решения характеристического уравнения
Для решения
характеристического уравнения могут
использоваться общие методы решения
нелинейных уравнений, которые будут
рассматриваться в 7-м разделе этого
пособия. Составной частью этих методов
является вычисление определителя
для заданных значений
.
Вычислять
его можно
изученными в 5-м разделе методами линейной алгебры (Гаусса, LU - разложения и т.д.);
представив сначала определитель в виде характеристического многочлена, то есть, вычислив его коэффициенты ai.
Для вычисления
коэффициентов характеристического
многочлена можно сначала вычислить
определитель методами линейной алгебры
в (n+1)-й
точке
а затем интерполировать его на этой
сетке, например, методом Ньютона (метод
интерполяции Микеладзе).
6.3. Преобразование подобия
Матрица
(6.5)
называется подобной
матрице
.
Преобразование (5) называется преобразованием
подобия. Легко
показать, что преобразование подобия
не изменяет собственных значений
матрицы.
Вывод: преобразованиями подобия можно привести матрицу к виду, удобному для определения собственных значений, например, диагональному.
Для преобразования подобия удобно использовать унитарные матрицы, обладающие свойством
,
(6.6)
например, матрицу вращения
; (6.7)
.
(6.8)
Здесь матрица
почти единичная, за исключением элементов
.
(6.9)