Робота сил поля тяжіння. Потенціал
Я
кщо
тіло переміщується під дією сили тяжіння,
то при цьому виконується робота. Давайте
знайдемо роботу сил тяжіння при русі
матеріальної точки масою
у полі тяжіння, створеного точковою
масою
.
При елементарному переміщенні на
величину
(рис.5) робота складатиме:
= |
(55) |
=-
де
=
,
знак „-” вказує на те, що напрям сили
тяжіння протилежний напряму радіуса-вектора
рухомої точки
.
Роботу сил тяжіння при переміщенні тіла
з точки 1
в точку 2,
радіуси яких
і
:
= |
(56) |
=-
Отже,
з (56) видно, що робота сил тяжіння не
залежить від форми шляху. Сили
тяжіння – консервативні, або потенціальні.
Якщо
,
то тіло
віддаляється від тіла
як джерела поля тяжіння і робота
.
Отже, робота виконується проти сил
тяжіння. Якщо ж
,
то тіло
наближається до джерела
і
,
тобто сили поля тяжіння виконують
додатну роботу.
Оскільки сили тяжіння консервативні, то виконана цими силами робота переміщення тіла в полі тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла:
|
(57) |
=-
=
-
.При
переміщенні матеріальної точки
з нескінченості на відстань
від тіла масою
,
потенціальна енергія точки буде:
=-
|
(58) |
.При такому вигляді формули (58) потенціальна енергія двох матеріальних точок, що взаємодіють, завжди від’ємна і зростає при збільшенні відстані між ними. Якщо ж ми поділимо ліву і праву частину (58) на масу тіла , то отримаємо величину:
|
(59) |
=-
=
,яка не залежить від маси , а залежить тільки від маси і відстані від цього тіла до точки поля – потенціал поля тяжіння – скалярна величина. Потенціал є енергетичною характеристикою поля тяжіння. Формулу (59) перепишемо, враховуючи поняття потенціалу:
=
|
(60) |
,де
і
- потенціали точок 1
і 2.
Потенціал точки поля тяжіння, створеного
системою матеріальних точок, визначається
алгебраїчним сумуванням.
Оскільки потенціал величина скалярна, завжди існують поверхні, точки яких мають однакові потенціали – це еквіпотенціальні поверхні.
У зв’язку з тим, що напруженість і потенціал являють собою характеристики одного і того самого поля, то між ними повинен існувати зв’язок. Продиференцюємо вираз (59) по :
|
(61) |
=
.Вираз для напруженості гравітаційного поля з урахуванням (61) перепишемо так:
|
(62) |
=-
=-
.
.Величина
=
- це одиничний вектор, який незалежно
від вибору нульового потенціалу завжди
напрямлений у бік зростання потенціалу.
У векторному аналізі величину
називають градієнтом
потенціалу:
=- |
(63) |
.– зв’язок напруженості і потенціалу гравітаційного поля.
Прикладом центрального поля тяжіння є поле, що створюється нерухомою матеріальною точкою.
Давайте розглянемо рух тіл у центральному поля тяжіння. До таких рухів належать рухи планет Сонячної системи. При цьому Сонце і планети вважають матеріальними точками. Спростимо ще задачу. Розглянемо рух тіл у центральному полі тяжіння, застосувавши закон збереження енергії. Якщо тіло масою рухається у центральному полі, створеному джерелом поля масою , то його повна енергія визначатиметься так:
= |
(64) |
-
=
.Момент імпульсу тіла масою буде:
= |
(65) |
=
З означення центрального поля випливає, що сила, яка діє на рухому в ньому матеріальну точку, завжди проходить через центр поля. При цьому плече сили відносно центра поля дорівнюватиме нулю. Отже, момент імпульсу тіла масою є величина стала:
|
(66) |
=
д
е
- кутова швидкість. Повну швидкість руху
тіла можна розкласти на радіальну
та азимутальну
=
складові (рис.7). Тоді кінетичну енергію
тіла перепишемо у наступному
вигляді:
= |
(67) |
+
=
+
З урахуванням рівняння (67) вираз для повної енергії (64) набуває вигляду:
- + = = |
(68) |
Оскільки в цьому рівнянні тільки перший доданок залежить від швидкості, то роль потенціальної енергії відіграє функція:
|
(69) |
=-
+
.Давайте тепер знайдемо умови, при яких траєкторія руху тіла стане еліптичною, тобто коли рух тіла буде обмежений у деякій області простору. Такий рух ще називають фінітним. Для розв’язання цієї задачі застосуємо графічний метод. На рис.8 штрихованою лінією наведемо графіки функцій:
|
(70) |
=-
;
=
(
)Суцільною
лінією наведемо графік функції
,
як результат додавання ординат функцій
і
.
З рис.8 видно, що для
функція
додатна і при
асимптотично наближається до
.
Для значень
функція
від’ємна і при
вона асимптотично наближається до нуля.
Оскільки
величина
завжди додатна, то межі області, в якій
може перебувати тіло, визначаються
умовою
.
Проведемо на рис.8 прямі
=
=
для випадку, коли
і
.
У
першому випадку ділянки кривої
(
),
що знаходяться над прямою, не можуть
бути досягнуті тілом з енергією
.
У другому випадку (
)
пряма перетинає криву
у двох точках А
і В.
Їм відповідають радіуси
і
.
Вони і визначають межі області, в якій
рухається тіло у центральному
гравітаційному полі. Саме у цьому разі
рух тіла буде обмеженим, тобто фінітним.
Траєкторія руху при цьому буде еліптичною.
Якщо
,
то пряма перетинає криву
тільки в одні точці, які відповідає
радіус
.
Якщо ж тіло рухається справа наліво, то
на відстані
його напрям руху зміниться на протилежний.
Рух тіла буде необмеженим, тобто інфінітним, а траєкторія - гіперболічною. Якщо = , то рух тіла також буде необмеженим, а траєкторія – параболічною.
Всі наведені висновки можна повністю поширити на рух штучних супутників Землі та космічних кораблів. Про це ви дізнаєтеся самостійно з будь-якого підручника в переліку літератури.