• Закон збереження механічної енергії

Роботу , яка виконується внаслідок зменшення потенціальної енергії системи, можна виразити через приріст кінетичної енергії. Дістанемо:

- = -

(45)

звідки отримаємо такий вираз:

+ = +

(46)

Суму кінетичної і потенціальної енергії системи називають її повною механічною енергією .

З формули (46) маємо, що = , або:

= + =

(47)

З формули (47) випливає, що

в системі, у якій діють тільки консервативні сили, повна енергія залишається незмінною. Можуть відбуватися тільки перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки.

Фактично цим самим і сформульовано закон збереження енергії для замкнутих систем, в яких діють тільки консервативні сили.

Розглянемо загальний випадок коли система складається з тіл, між якими діють консервативні і неконсервативні сили. Вважатимемо, що кожне тіло системи – матеріальна точка масою ( ). Для кожного тіла системи рівняння другого закону динаміки виглядатиме наступним чином:

= + +

(48)

де = - сума консервативних сил, що діють на -те тіло системи; - сила, що дії на -те тіло з боку -го тіла; - сума неконсервативних сил, що діють на -те тіло; - сума зовнішніх сил, що діють на -те тіло. Під дією цих сил протягом часу кожне із тіл системи зазнає переміщення відповідно , , ..., . Помножимо скалярно рівняння (48) на відповідне переміщення :

=( , )+( , )+( , ).

(49)

Ліву частину рівняння (49) перепишемо так:

= = = = .

(50)

Отже, ліва частина рівняння (49) являє собою зміну кінетичної енергії -го тіла. Тоді (49) перепишемо у наступному вигляді:

=( , )+( , )+( , ).

(51)

Якщо ж ми таких рівнянь запишемо , тобто для кожного тіла системи, і почленно додамо їх всі, то дістанемо:

= + + .

(52)

Отже, = - є зміною кінетичної енергії системи в цілому;

= - робота всіх консервативних сил, яка дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи;

і - робота всіх неконсервативних та зовнішніх сил.

Перепишемо рівняння (52):

+ = + , або	(53)
= + ,	(53а)

де - повна механічна енергія системи (47). З рівності (53а) випливає, що зміна механічної енергії системи дорівнює роботі, виконаній внутрішніми неконсервативними силами і зовнішніми силами. Якщо система замкнута, то =0:

= ,

(54)

тобто зміна механічної енергії замкнутої системи тіл дорівнює роботі неконсервативних сил, що діють у системі. Оскільки робота цих сил завжди додатна, то механічна енергія такої системи зменшується. Такий процес називають дисипацією енергії (з латини dissipatio - розсіяння). Дисипація енергії зумовлена тим, що робота внутрішніх неконсервативних сил пов’язана з перетворенням механічного руху в інші форми руху матерії, наприклад у внутрішню енергію тіл, або, як ще кажуть, в тепло. Сили, що приводять до дисипації енергії мають назву дисипативних сил. В загальному випадку дисипативним є сили, які завжди напрямлені проти швидкості частинок, і, відповідно, такі, що викликають їх гальмування. Але, неконсервативні сили не обов’язково є дисипативними. Якщо в замкнутій системі тіл дія внутрішніх неконсервативних сил відсутня, то з виразу (53) приходимо до закону збереження механічної енергії у вигляді формули (47). Закон збереження енергії є одним з головних законів природи.

Ми вже встановили, що кінетична енергія в різних системах відліку має різне значення. Тому повна енергія системи тіл, яка дорівнює сумі потенціальної і кінетичної енергії, також має різне значення в різних інерціальних системах відліку. Якщо ж в одній із систем відліку повна енергія замкнутої системи тіл стала, то вона буде сталою і в іншій інерціальній системі відліку, тобто закон збереження механічної енергії справджується у будь-якій інерціальній системі відліку. Робота, яка виконується зовнішньою, силою і дорівнює зміні кінетичної енергії також буде неоднаковою в різних системах відліку.

Доведено, що закон збереження енергії справджується в усіх явищах природи. Встановленням цього закону було завершено вчення про зв’язок і взаємне перетворення різних форм руху матерії, на цій основі саме і сформувалося поняття про енергію.

На основі закону збереження енергії можна встановити загальні умови рівноваги тіл або системи тіл. Оскільки повна механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії, а кінетична енергія за своїм змістом не може бути від’ємною, то з (47) випливає, що (знак рівності буде при ). Цим співвідношенням і визначається область зміни всіх координат системи, в якій вона може перебувати при заданому значенні її повної енергії .