Вариант 27

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень 1, простые корни 2, 3, .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5. Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка с операциями сложения и умножения на число, введенными в теории матриц, образует линейное пространство. Найти базис и указать размерность пространства.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

Вариант 28

1. Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2. Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Введем скалярное произведение двух функций множества по правилу . Доказать, что введенное число удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Построить ортонормированный базис пространства.

5. Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе , в котором заданы векторы , и .

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

Вариант 29

1. Пользуясь показательной формой комплексного числа, найти сумму .

2. Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

5. Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.