Вариант 19

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Определить и так, чтобы многочлен делился на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Доказать, что система тригонометрических функций ортогональна на в смысле скалярного произведения . Получить из нее ортонормированную систему функций.

5. Заданы координаты многочлена в базисе . Указать матрицу перехода к новому базису и координаты в этом базисе.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

Вариант 20

1. Найти модуль и аргумент числа и изобразить число на комплексной плоскости.

2. Определить и так, чтобы многочлен при делении на давал в остатке 7, а при делении на давал в остатке 5.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше п от одного переменного с вещественными коэффициентами. Найти матрицу этого преобразования в базисе .

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

Вариант 21

1. Доказать, что .

2. Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень и простой корень ( )..

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Доказать, что из свойств скалярного произведения вытекают следующие свойства для любых элементов евклидова пространства; 1) 2) 3) 4) .

5. В пространстве многочленов не выше второй степени заданы координаты многочлена в базисе . Построить ортогональный базис того же пространства, указать матрицу перехода от старого базиса к новому базису и координаты в новом базисе, .

6. Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы.

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

Вариант 22

1. Вычислить .

2. Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка справа на заданную матрицу является линейным преобразованием пространства всех матриц второго порядка. Найти матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц Как выглядит матрица преобразования при умножении на заданную матрицу слева?

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.