Вариант 15

1. Пользуясь показательной формой комплексного числа, найти сумму .

2. Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень ( ).

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Доказать, что 1) всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, линейно зависима, 2) всякая система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима, 3) всякая система п векторов, содержащая т линейно зависимых векторов ( ), линейно зависима.

5. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти его матрицу в базисе .

6. Найти собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

Вариант 16

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Определить и так, чтобы многочлен делился на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы , и .

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

Вариант 17

1. Вычислить и показать на комплексной плоскости.

2. Уравнение имеет корень . Найти все остальные корни.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Доказать, что 1) если ― ортогональная система векторов, то для любых чисел система векторов ― также будет ортогональной; 2) если х ортогонален каждому из векторов , то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов; 3) нулевой элемент пространства ортогонален любому другому элементу того же пространства.

5. Координаты вектора заданы в базисе . Найти координаты того же вектора в базисе , предварительно проверив, что , и образуют базис трехмерного арифметического пространства.

6. Найти вещественные собственные числа матрицы и соответствующие собственные векторы

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.