Вариант 12

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Определить и так, чтобы трехчлен делился на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы , и .

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7. Найти все значения , при которых квадратичная форма является положительно определенной.

Вариант 13

1. Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2. Найти зависимость между , при которой корни уравнения составляют геометрическую прогрессию.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов на плоскости определить, является ли это множество линейным пространством относительно обычных операций сложения векторов и умножения вектора на число. В случае отрицательного ответа указать, какие именно аксиомы линейного пространства не выполнены. Предполагается, что начало каждого вектора находится в начале координат: 1) Векторы, концы которых лежат на данной прямой. 2) Векторы, концы которых лежат в первой четверти системы координат. 3) Векторы, концы которых лежат в первой или третьей четверти. 4) Векторы, концы которых лежат во второй или третьей четверти.

5. Оператор А, действующий в трехмерном арифметическом пространстве, переводит векторы в векторы Найти матрицу оператора в этом же базисе, в котором заданы векторы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

Вариант 14

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Доказать, что делится на при любых .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Пусть ― произвольный вектор, а ― фиксированный векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы и .

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.