Вариант 8

1. Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2. Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень и простой корень ( ).

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Пусть ― произвольный вектор арифметического трехмерного пространства. Проверить, будут ли указанные операторы линейными: 1) 2)

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Вариант 9

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Доказать, что это множество образует линейное пространство. Указать базис этого пространства, его размерность, нулевой элемент.

5. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти матрицу этого же преобразования в базисе

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

Вариант 10

1. Преобразовать в алгебраическую форму число и показать его на комплексной плоскости.

2. Решить уравнение , если известно, что один из корней есть сумма двух других.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Пусть ― произвольный вектор арифметического трехмерного пространства. Проверить, какие из указанных операторов будут линейными: 1) 2) В случае линейности оператора указать его матрицу.

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7. Найти все значения , при которых квадратичная форма является положительно определенной.

Вариант 11

1. Вычислить и . Показать число на комплексной плоскости.

2. Построить многочлен наименьшей степени c вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 1 и простые корни 2, 3 и .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4. Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Введем скалярное произведение двух функций множества по правилу . Доказать, что введенное число удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Составить ортонормированный базис пространства.

5. В некотором базисе матрица линейного оператора имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе , , , если координаты векторов заданы в базисе .

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.