1. Записать в показательной форме числа и показать их на комплексной плоскости.

2. Найти сумму квадратов корней многочлена .

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Привести матрицу к диагональному виду. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

Вариант 5

1. Преобразовать в алгебраическую форму число и показать его на комплексной плоскости.

2. Построить многочлен наименьшей степени по его корням: тройной корень (―1), простые корни 3 и 4.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка с операциями сложения и умножения на число, введенными в теории матриц, образует линейное пространство. Найти базис и указать размерность пространства.

5. В базисе пространства многочленов не выше второй степени оператор задан матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном многочленами , , .

6. Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

Вариант 6

1. Вычислить и . Показать число на комплексной плоскости.

2. Доказать, что многочлен не имеет кратных корней.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Доказать, что оператор транспонирования в пространстве квадратных матриц второго порядка является линейным. Найти его матрицу в базисе .

5. Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы . Привести ее к диагональному виду.

7. Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Вариант 7

1. Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2. Уравнение имеет корень . Найти все остальные корни.

3. Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4. Доказать, что если R ― линейное пространство и х любой элемент R, то 1) при умножении х на число 0 получается нулевой элемент пространства; 2) при умножении х на число (―1) получается противоположный элемент пространства; 3) при умножении любого вещественного числа на ненулевой элемент пространства получается снова нулевой элемент.

5. Матрица линейного оператора задана в базисе . Как изменится матрица, если в базисе поменять местами и ?

6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.