3.2.1 Інтеграл Максвелла-Мора.

Розглянемо балку довжиною , навантажену в точці 1 силою(рис. 3.3). Визначимо переміщення(у точці 2 від сили, прикладеної в точці 1).

1. Перший стан. У точці 1 прикладемо зосереджену силу F. Прогин у точці 1 дорівнює , у точці 2 -. У перерізах балки виникає згинальний момент від зовнішнього навантаження. Сила F прикладається статично і виконує роботуна шляху(див. графік на рис.3.3.1). Визначаємо потенційну енергію деформації, виражену через згинальний момент, за формулою (3.12):. Але потенційна енергія деформаціїчисельно дорівнює роботі зовнішніх сил, тобто:.

2. Другий стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, згинаючи балку, виконує роботу (див. графік на рис.3.3.2) на переміщенні . У перерізах балки виникає згинальний моментвід одиничної сили. Робота одиничної сили. Потенційна енергія деформації. Як і в попередньому випадку.

Рис.3.3.

3. Третій стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, деформуючи балку, виконує роботу на переміщенні(див. графік на рис. 3.3.3). До деформованої балки статично у точці 1 прикладемо зосереджену силу, що, деформуючи балку з уже прикладеною одиничною силою, виконує роботу(див. графік) на переміщенні. Точка 2 одержить ще переміщення, а одинична сила виконає роботу(див. графік) на переміщенні. Від дії силий одиничного навантаження в перерізах балки виникає сумарний згинальний момент. Робота двох сил визначиться як:

,

а потенційна енергія пружної деформації виразиться через сумарний згинальний момент як:

.

Порівнюючи вирази для, після нескладних перетворень одержимо:

. (3.5)

Порядок визначення переміщень за допомогою інтеграла Максвелла-Мора.

1. Прикладаємо зовнішнє навантаження, визначаємо опорні реакції, розбиваємо балку на ділянки, записуємо вирази (функції) згинаючого моменту для кожної ділянки.

2. У точці, переміщення якої визначаємо, прикладаємо:

   1. Одиничну силу при визначенні прогину (лінійного переміщення);

   2. Одиничний момент при визначенні кутового переміщення.

Визначаємо опорні реакції й у такому ж порядку, як і для зовнішнього навантаження, на кожній ділянці записуємо вирази (функції) згинаючого моменту .

3. Підставляємо функції (вирази) ів інтеграл Максвелла-Мора та робимо відповідні обчислення.

4. Результат обчислень позитивний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, збігається з напрямком дійсного переміщення, і негативний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, не збігається з напрямком дійсного переміщення.

Приклад 2. Консольна балка постійного поперечного перерізу (ЕI_x=const) довжиною навантажена на кінці зосередженою силою(рис.3.4а). Визначити прогинта кутповороту на кінці консолі.

Рис. 3.4.

1. Запишемо функцію (рис.3.4а).

2. У точці прикладаємо одиничну силу (рис.3.4б) та записуємо функцію.

3. Підставляючи йв інтеграл, одержимо:(див.приклад 1 на рис. 3.2).

4. Для визначення кутового переміщення у точці прикладаємо одиничний момент (рис.3.4в) та записуємо функцію.

5. Підставляючи йв інтеграл, одержимо:.

Результат обчислення прогину позитивний, тому що прикладена одинична сила збігається з напрямком дійсного переміщення. Результат обчислення кута поворотунегативний, тому що прикладений одиничний момент по напрямку не збігається з дійсним напрямком кута повороту перерізу в точці .