сигналы4

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ)

Кафедра ВТ

РЕФЕРАТ

по дисциплине: «Цифровая обработка сигналов»

на тему: «Линейная свертка детерминированных последовательностей»

Выполнил:

Проверил:

г. Санкт-Петербург, 2014 г.

Оглавление

1. Введение 3

2. Линейная свертка 4

3. Циклическая свертка 5

4. Секционированные свертки 7

5. Литература 11

Введение

Операция свертки:

s(t) = x(t) * h(t) = (1)

Свертка позволяет рассчитать сигнал s(t) на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой h(t), при входном сигнале x(t).

В дискретном случае различают два вида сверток: линейную (или апериодическую) и циклическую. Циклическую свертку еще часто называют круговой или периодической.

Линейная свертка

Рассмотрим линейную свертку. Пусть имеется два дискретных сигнала a(n), n=0..N-1, и b(n), n=0..M-1. В общем случае длины этих сигналов N и M могут отличаться. Линейной сверткой сигналов a(n) и b(n) называется дискретный сигнал вида:

s(n) = a*b = (2)

Для вычисления линейной свертки сигналы a(n) и b(n) сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что a(n) = 0 при n<0 и n>N, а также b(n)=0 при n<0 и n>M

Графическое представление линейной свертки представлено на рисунке 1.

Рисунок 1: Графическое представление линейной свертки

Отсчеты сигнала b(n) сдвигаются относительно отсчетов последовательности a(n) все возможные перекрывающиеся отсчеты почленно перемножаются и складываются.

На рисунке 2 приведен пример вычисления линейной свертки двух сигналов a(n) = [2,1,3,-1] длиной 4 отсчета и b(n)=[-1,1,2] длиной 3 отсчета.

Рисунок 2: Пример вычисления линейной свертки.

Необходимо отметить, что сигнал b(n) при вычислении свертки отражается слева-направо, поскольку b(0)=-1 самый первый отсчет (самый ранний по времени) и обрабатываться он также должен первым.

Циклическая свертка

Рассмотрим теперь циклическую свертку. В случае циклической свертки предполагается, что дискретные сигналы a(n) и b(n) - периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда круговой сверткой сигналов a(n)  и b(n) называется сигнал вида:

s(n) = (3)

Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов.

Рассмотрим циклическую свертку на примере двух сигналов a(n)=[2,1,3,-1] и b(n)=[-1,3,2,1] . Графически вычисление циклической свертки представлено на рисунке 3.

Рисунок 3: Вычисление циклической свертки

Красной линией отмечены границы периодов повторения сигнала b(n-m). Заметим, что в силу периодичности сигналов b(-m)=b(N-m).

Вычислим свертку пошагово:

s(0) =

Теперь рассчитаем s(1):

s(1) = (5)

Аналогично можно рассчитать s(2) = 3 и s(3)=14.

Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов a(n) и b(n) длительностью M и N отсчетов соответственно дополнить нулями до длины M+N-1.

Приведем пример вычисления линейной свертки через циклическую для a(n)=[2,1,3,-1] длиной 4 отсчета и b(n)=[-1,1,2] длиной 3 отсчета (этот пример был рассмотрен выше).

Дополним нулями a(n)=[2,1,3,-1,0,0] и b(n)=[-1,1,2,0,0,0], так чтобы в каждой последовательности было по 6 отсчетов.

Вычислим циклическую свертку как это показано на рисунке 4.

Рисунок 4: Вычисление линейной свертки через циклическую <

Можно сравнить с результатом самого первого примера для линейной свертки и убедится в том, что значения совпадают.

Секционированные свертки

Секционная свёртка используется, когда количество элементов одной из последовательностей в несколько раз больше, чем количество элементов другой. Секционная свёртка может выполняться двумя методами вычисления. Они основаны на разбиении более длинной последовательности на секции и вычислении частичных сверток, из которых затем формируется искомая выходная последовательность.

Первый из них называется методом перекрытия с суммированием. Сущность этого метода иллюстрируется на рис.5. Для простоты положим, что последовательность x(n) не ограничена, a h(n) содержит  отсчетов. Разделим последовательность x(n) на смежные секции длиной по  отсчетов (рис. 5). Выбор  довольно сложен, но хорошие результаты получаются, если  является величиной того же порядка, что и  .Итак, входная последовательность x(n) представляется в виде

x(n) =

рис.5. - Метод перекрытия с суммированием.

Где

Линейная свертка последовательностей x(n) и h(n) равна

y(n)=

рис.6. - Формирование выходных значений свертки при использовании метода перекрытия с суммированием.

Длина каждой из частичных сверток в сумме (4) равна () отсчетам, т. е. имеется участок длиной в () отсчетов, на котором k-я и (k+1)-я частичные свертки перекрываются, поэтому их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. На рис. 6 показано, как расположены и как суммируются соседние частичные свертки  . Рассмотренный метод был назван методом перекрытия с суммированием именно потому, что промежуточные частичные свертки перекрываются и для получения конечного результата их необходимо сложить.

рис.7 -. Метод перекрытия с накоплением.

Другой метод вычисления линейной свертки последовательностей, одна из которых значительно длиннее другой, также основан на секционировании более длинной последовательности. Его называют методом перекрытия с накоплением, причем в данном случае перекрываются входные, а не выходные секции. Ошибочные отсчеты круговых сверток отдельных секций отбрасываются. Остальные отсчеты накапливаются и из них формируется конечный результат. Рассмотрим конкретный пример (рис. 7). Последовательность h(n) содержит  отсчетов, а последовательность x(n) разделена на секции  длиной по () отсчетов, перекрывающиеся друг с другом на участках длиной по  отсчетов. (Отметим, что участок перекрытия находится в конце последовательности . Это удобно для вычисления круговой свертки с помощью ДПФ.)

рис. 8. - Формирование выходных значений свертки при использовании метода перекрытия с накоплением.

Для каждой секции вычисляется круговая свертка последовательностей h(n) и , содержащая () отсчет. В результате получается набор последовательностей  ), изображенных па рис.8. Последние  () отсчетов каждой из последовательностей  отбрасываются (они неверны из-за циклического характера свертки), а остальные присоединяются к правильным отсчетам последовательности  и т. д. В результате получается искомая последовательность, тождественная свертке  y(n). Итак, используя метод перекрытия с суммированием или метод перекрытия с накоплением, можно сравнительно легко найти свертку короткой и очень длинной последовательностей, причем результат получается в виде отдельных небольших секций, которые объединяются соответствующим образом в одну последовательность.

Литература

1. Цифровая обработка сигналов изображений : учеб. пособие / С.М. Ибатуллин ; Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет им. В.И. Ульянова (Ленина) "ЛЭТИ" . - СПб. : Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2006.

2. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие для вузов / А.Б.Сергиенко ; - СПб. : Питер, 2002.

3. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов : Учеб. пособие для вузов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. - СПб. : БХВ-Петербург, 2001.

4. Цифровая обработка сигналов = Understanding digital signal processing / Р. Лайонс ; пер. с англ. под ред. А. А. Бритова. - 2-е изд. - М. : Бином, 2007.