Цепочка , для которой существует выводS*, называется сентенциальной формой или сентенцией в грамматике .

Языком, порожденным грамматикой G называется множество терминальных сентенциальных форм грамматики.

Классификация грамматик в иерархии американского математика Хомского осуществляется по структуре правил вывода. В расширенной иерархии Хомского выделяется четыре типа грамматик.

Тип 0. Грамматика называется грамматикой типа 0 (грамматикой без ограничений или грамматикой с фразовой структурой), если на ее правила вывода не наложено никаких ограничений, кроме тех, которые указаны в определении грамматики.

Тип 1. Грамматика называется контекстно-зависимой грамматикой (КЗ-грамматикой), если каждое правило вывода из множестваР имеет вид , где   (V_T  V_N)⁺,   (V_T  V_N)^* и ||  ||. Расширение допускает не более одного -правила, т.е. правила вида А, АV_N.

Тип 2. Грамматика называется контекстно-свободной грамматикой (КС-грамматикой), если ее правила вывода имеют вид:, гдеи

Тип 3. Грамматика называется регулярной грамматикой (Р-грамматикой) выровненной вправо, если ее правила вывода имеют вид , где.

Грамматика называется регулярной грамматикой (Р-грамматикой) выровненной влево, если ее правила вывода имеют вид , где.

Расширение допускает единственное -правило вида s, но в этом случае начальный символ грамматики s не должен встречаться в правых частях правил.

Язык L(G) называется языком типа k, если его можно описать грамматикой типа k, где k – максимально возможный номер типа грамматики.

Язык вида L={0ⁿ1ⁿ | n>0} порождается КЗ-грамматикой (тип 1) G₁ (пример 1.4) и КС-грамматикой (тип 2) G₂= ({0, 1}, {S}, P₂, S), где

множество правил вывода P₂ содержит правила вида S  0S1 | 01.

Так как не существует регулярной грамматики (тип 3), порождающей данный язык, то язык L является языком типа 2 или КС-языком.

Примеры различных типов формальных языков и грамматик по классификации Хомского. Терминалы будем обозначать строчными символами, нетерминалы – прописными буквами, начальный символ грамматики – S.

а) Язык типа 0 L(G)= определяется грамматикой с правилами вывода:

1) S  aaCFD; 2) AD  D;

3) F  AFB | AB; 4) Cb  bC;

5) AB  bBA; 6) CB  C;

7) Ab  bA; 8) bCD  .

б) Контекстно-зависимый язык L(G)={aⁿbⁿcⁿ | n1} определяется грамматикой с правилами вывода:

1) S  aSBC | aBC; 2) CB  BC;

3) aB  ab; 4) bB  bb;

5) bC  bc; 6) cC  cc.

в) Контекстно-свободный язык L(G)={(aс)ⁿ(cb)ⁿ | n>0} определяется грамматикой с правилами вывода:

1) S  aQb | accb;

2) Q  cSc.

г) Регулярный язык L(G)={ | {a, b}⁺, где нет двух рядом стоящих а} определяется грамматикой с правилами вывода:

1) S  A | B;

2) A  a | Ba;

3) B  b | Bb | Ab.

Грамматики G₁ и G₂ называются эквивалентными, если они определяют один и тот же язык, т.е. .

Грамматики G₁ и G₂ называются почти эквивалентными, если заданные ими языки различаются не более чем на пустую цепочку символов, т.е. .

Для грамматики G₁ эквивалентной будет грамматика G₂ = ({0, 1}, {S}, P₃, S), где P₂: S  0S1 | 01, т.к. L(G₁)=L(G₂)= {0ⁿ1ⁿ | n>0} (пример 1.7).

Почти эквивалентной для грамматики G₁ будет грамматика G₃ = ({0, 1}, {S}, P₃, S), где множество правил вывода P₃ содержит правила вида S  0S1 | , т.к. L(G₃)= {0ⁿ1ⁿ | n0}.

Цепочки языка могут содержать метасимволы, имеющие особое назначение. Метаязык, предложенный Бэкусом и Науром (БНФ) использует следующие обозначения:

• символ «::=» отделяет левую часть правила от правой (читается: «определяется как»);

• нетерминалы обозначаются произвольной символьной строкой, заключенной в угловые скобки «<» и «>»;

• терминалы - это символы, используемые в описываемом языке;

• правило может определять порождение нескольких альтернативных цепочек, отделяемых друг от друга символом вертикальной черты «|» (читается: «или»).

Для повышения удобства и компактности описаний, в расширенных БНФ вводятся следующие дополнительные конструкции (метасимволы):

• квадратные скобки «[» и «]» означают, что заключенная в них синтаксическая конструкция может отсутствовать;

• фигурные скобки «{» и «}» означают повторение заключенной в них синтаксической конструкции ноль или более раз;

• сочетание фигурных скобок и косой черты «{/» и «/}» используется для обозначения повторения один и более раз;

• круглые скобки «(» и «)» используются для ограничения альтернативных конструкций;

• кавычки используются в тех случаях, когда один из метасимволов нужно включить в цепочку обычным образом.

В метаязыке диаграмм Вирта используются графические примитивы.

При построении диаграмм учитывают следующие правила:

• каждый графический элемент, соответствующий терминалу или нетерминалу, имеет по одному входу и выходу, которые обычно изображаются на противоположных сторонах;

• каждому правилу соответствует своя графическая диаграмма, на которой терминалы и нетерминалы соединяются посредством дуг;

• альтернативы в правилах задаются ветвлением дуг, а итерации - их слиянием;

• должна быть одна входная дуга (располагается обычно слева или сверху), задающая начало правила и помеченная именем определяемого нетерминала, и одна выходная, задающая его конец (обычно располагается справа или снизу);

• стрелки на дугах диаграмм обычно не ставятся, а направления связей отслеживаются движением от начальной дуги в соответствии с плавными изгибами промежуточных дуг и ветвлений.