1.5.Теорема сложения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А или В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела, событие А - попадание при первом выстреле, событие В — попадание при втором выстреле, то событие А+В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В — несовместимы, то А+В событие, состоящее в появлении одного из этих событий.

Рассмотрим более сложный случай. Пусть имеются три станка. Событие A₁ — безотказная работа первого станка (событие   — отказ в работе первого станка), событие А₂ — безотказная работа второго станка (событие  — отказ в работе второго станка). Событие А₃ — безотказная работа третьего станка. (Событие   — отказ в работе третьего станка).

Событие — безотказная работа только одного станка представляет собой сумму трех событий  , состоящее в безотказной работе первого станка и отказе в работе второго и третьего станков — событие  ; в безотказной работе второго станка и в отказе работы первого и третьего станков — событие  ; в безотказной работе третьего станка и в отказе в работе первого и второго станков — событие  . Итак, суммой трех указанных событий   называется событие, состоящее в появлении события   или события   или события  .

Как найти вероятность суммы случайных событий, если известны вероятности появления каждого из этих событий в отдельности?

Рассмотрим вначале несовместные события.

Теорема 1. 

Вероятность суммы нескольких несовместных событий A₁, A₂...A_n равна сумме вероятностей этих событий

Р(А₁+А₂…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n).

Доказательство:

Проведем доказательство этой теоремы для схемы урн. Введем обозначения: n -общее число шаров в урне (цветных и белых), m- общее число цветных, (m₁ — число шаров определенного цвета), так что  .

Число элементарных исходов, благоприятствующих извлечению цветного шара, равно  . Следовательно

.

Принимая во внимание , что  ,

Окончательно получим  .

Теорема 2.

Сумма вероятности событий А₁, А₂...А_n, образующих полную группу, равна единице. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного событий равна единице, то 

Р(А₁+А₂+...+А_n)=1

События, составляющие полную группу событий, несовместны, поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

Р(А₁+А₂+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n).

Окончательно

Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1.

Противоположными называются два события, образующие полную группу событий. Из предыдущей теоремы следует, что сумма вероятностей противоположных событий А и  равна единице.

Пример 1.5.1.

По цели осуществляется залп из двух орудий. Вероятность попадания в цель из первого орудия  , из второго  . Какова вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания в цель? 

Исходим из того события: хотя бы одно попадание в цель и промах образуют полную группу событий. Искомая вероятность равна:

.

Пример 1.5.2.

Вероятности обрывной работы трех ткацких станков равны, соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Найти вероятность безобрывной работы хотя бы одного из станков. 

Решение:

События "работает безобрывно хотя бы один из станков" и "работают с обрывом все станки" составляют полную группу событий. Обозначим события - обрывную работу первого, второго и третьего станков соответственно через  .

Искомая вероятность Р равна  .

События   — независимые . Применяя теорему умножения вероятностей, окончательно получим

Р=1-Р(А₁) Р(А₂) Р(А₃)=1-0,1 0,2·0,3 = 0,994.

Пример 1.5.3.

Работница обслуживает три ткацких станка. Вероятность того, что в течение времени первый станок (событие A₁  не потребует внимания Р(A₁)=0,9, второй (событие А₂) — Р(А₂)=0,8 и третий (событие А₃) Р(А₃)=0,7. Найти вероятность того, что в течение того же времени:

а) все три потребуют внимания;

б) только один потребует внимания;

в) только два потребуют внимания.

а) События   противоположны событиям А₁, А₂ , А₃ соответственно, следовательно:

   ;  .

Вероятность того, что все три машины потребуют внимания   равно

;

б) Событие — работает только один станок, представляет собой сумму трех событий:

,

Используя теорему сложения и умножения вероятностей, искомая вероятность равна:

.

в) Событие — работают только два станка, представляет собой сумму трех событий: 

.

Искомая вероятность равна:

.

Рассмотрим теорему сложения вероятностей для совместных событий.

Теорема 3.

Вероятность суммы двух совместных событий A₁,А₂-Р(A₁+A₂) равна сумме вероятностей этих событий Р(A₁) и Р(А₂) без вероятности их совместного появления P(A₁A₂)

P(A_l+A₂) = P(A_I) +P(A₂) - P(A₁A₂).

Доказательство:

Поскольку события A₁ и А₂ по условию совместны, то событие A₁+А₂ наступит, если наступит одно из следующих несовместных событий:

,   или  .

По теореме сложения вероятностей,

Р(А₁+А₂)=     (1).

Событие A₁ наступит, если наступит одно из несовместных событий   и  .

По теореме сложения вероятностей

, отсюда      (2)

Аналогично

, или  .

Подставляя выражения (2) и (3)в выражение (1) получим:

.

На этом заканчивается доказательство теоремы.

Пример 1.5.4.

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий соответственно равна Р(А₁)=0,7; Р(А₂)=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий), хотя бы одним из орудий.

Решение:

Искомая вероятность:

0,7 +0,8 -0,56=0,94.