1.4. Teopeмa умножения вероятностей.
Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Произведением нескольких событий А1,.А2,...Аn, называется событие А1 А2... Аn, состоящее в совместном появлении этих событий.
Найдем вероятность произведения двух событий отдельно для зависимых и независимых событий.
Теорема 1.
Вероятность Р(АВ) произведения (совмещения) двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий.
Доказательство:
Проведем доказательство этой теоремы для схемы урн. Пусть в первой урне находится n1 шаров, из которых m1 цветных, во второй n2 шаров, из которых m2 — цветных. Из каждой урны извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара будут цветными?
Пусть событие А - извлечение цветного шара из первой урны.
Событие В — извлечение цветного шара из второй урны.
Событие АВ — извлечение двух цветных шаров / по одному из каждой урны/.
Согласно классическому определению вероятности,
,
n1 n2 — общее число возможных случаев извлечения по одному шару из каждой урны (извлечение каждого шара из первой урны сочетается с извлечением n2 шаров из второй урны). M1 m2 — общее число случаев, благоприятствующих появлению красных шаров из обеих урн.
Преобразуем
выражение для 
.
Итак, теорема доказана.
Если имеется n независимых событий А1, А2, . . .Аn, то аналогичным образом можно доказать справедливость равенства
Р(А1А2...Аn) = P((А1 А2...Аn-1)Аn) = P(A1A2...An-l)P(An)=...=P(A1)P(A2)...P(An).
Пример 1.4.1.
Осуществляется залп по цели из 3 орудий (или производится три выстрела подряд). Событие А — попадание в цель из первого орудия, событие В — попадание в цель из второго орудия, событие С — попадание в цель из третьего орудия. Пусть вероятности этих попаданий одинаковы и равны:
.
Событие ABC — попадание в цель одновременно в трех выстрелах. Вероятность этого события
Р(АВС)=Р(А)=Р(В)=Р(С)=0,9 0,9 0,9=0,729.
Пример 1.4.2.
В урне два шара: цветной и белый. Проводятся повторные n испытаний, в каждом из которых наудачу извлекают шар из урны, (или из n урн) и возвращают его в урну после испытаний. Пусть событие A1 — извлечение белого шара в первом испытании (или из первой урны), А2 — извлечение белого шара во втором испытании (или из второй урны) и т.д. Событие Аn — извлечение белого шара в n -ом испытании (или из n-ой урны). Допустим вероятности этих событий
Р (А1)=Р(А2)=....=Р(Аn)=Р.
Событие A1A2...An — извлечение белого шара во всех n - испытаниях (или их всех n урн одновременно).
Вероятность совмещения событий
Р(А1А2...Аn)=Р (А1)Р(А2)...Р(Аn)=Рn.
Пусть события А и В зависимые. Вероятность появления одного из этих событий зависит от появления или непоявления другого. Введем понятие условной вероятности зависимых событий. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Пример 1.4.3.
В урне содержится 5 красных и 3 белых шара. Из урны подряд извлекают по шару, не возвращая их в урну. Найти вероятность появления красного шара при втором извлечении (событие В), если при первом извлечении появился белый шар (событие А).
Решение:
После первого извлечения в урне осталось 7 шаров, из них 5 красных. Искомая условная вероятность
.
Теорема 2.
Вероятность Р(АВ) произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них Р(В) (или Р(А)) на условную вероятность РВ (А) или РА(В) , вычисленную в предположении, что первое событие В (или А) наступило.
Доказательство:
Доказательство для этой теоремы проведем для схемы урн. Пусть в урне n шаров. Из них m - белых, остальные черные. Из урны извлекаются подряд два шара. Какова вероятность события извлечь подряд два белых шара. Обозначим через АВ ожидаемое событие для нахождения вероятности Р(АВ) и воспользуемся классическим определением понятия вероятности. Полная группа событий состоит из n (n -1) извлечений, поскольку каждое первое из n извлечений шара из урны сочетается с (n -1) вторым извлечением шара из урны. Аналогичное число благоприятствующих извлечений равно m(m-1). Вероятность искомого события
.
Событие В- извлечение белого шара в первом испытании. Вероятность этого события
.
Событие РВ(А)- извлечение белого шара во втором испытании. Вероятность этого события
.
Для доказательства теоремы преобразуем выражение
.
Вставляя в левую часть последнего выражения Р(В) и Р(А) получим:
Р(АВ)=Р(В)РВ(А).
Итак, теорема доказана.
Нетрудно распространить доказательство теоремы на произведение трех зависимых событий АВС. Объединим первые два события (АВ)·С, тогда по предыдущей теореме:
Р((АВ)С)=Р(АВ)РАВ(С)=Р(В)РВ(А)-РАВ(С).
Таким образом, теорему можно распространить на произвольное число событий Al А2...Аn.
Пример 1.4.4.
У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.
Решение:
Вероятность того, что первый из взятых валиков окажется конусным (событие А):
.
Вероятность того, что второй из валиков окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик -конусный, т.е. условная вероятность равна
.
Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна:
.
Пример1.4.5.
В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появляется белый шар (событие А ), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).
Решение:
Вероятность появления белого шара при первом испытании
.
Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появляется белый шар, т.е. условная вероятность
.
Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появляется белый шар, а при втором - черный:
.
Искомая вероятность
.